cip

Algebra liniowa z geometrią

Ciała i poddała

Definicja 1. Zbiór K zawierający co najmniej dwa elementy, w którym określono dwa dńalama © i 0 nazywamy ciałem jeśli

1.    (K. ••) jest grapę a helowa.

2.    (K, •> \ {0}) jest grupą abelową., gdzie 0 jest elementem neutralnym działania

3.    działame • jest rozdzielne względem ©.

Zadanie 1. Sprawdzić, czy lQ. i . ■>), gdzie

a©6= a-*-6+ 1 aQb = a + b + a■b

jest ciałem.

Zadanie 2. Sprawdzić czy (Q. I . ->), gdzie

a 9 6 = a + 6 + 3

jest ciałem.

Zadanie 3. Sprawdzić, czy (Q,©,&), gdzie

o©6 = o-f 6+ 5

* .    , ab

a®b = a + b+ —r~ o

jest ciałem.

Zadanie 4. Udowodnić, że zbiór R x R z działaniami © i 0 określonymi wzorami (oj.a?) © (61,62) = (01 + 61,03 -t- 63)

(01,02) O {61.6₂) = (aj • 61 - 02 • 62, oi • 62 -i- 6j ■ a-i)

jest ciałem.

Definicja 2. Niepusty podzbiór L C K ciała [K, ©, 0) nazywamy podciąłem jeśli (L, ©, 1) jest ciałem. Wtedy ciało (K, 9,0) nazywamy rozszerzeniem ciała (L, 0,0)

Twierdzenie 1. Podzbiór L C K ciała (K, 0,©) jest podciąłem wtedy 1 tylko wtedy, gdy

1.    L zawiera co najmniej dwa elementy,

2.    [L, ©) jest podgrupą grupy abelowcj (K, ©),

3.    (L,0 \ {0}) jest podgrupą grupy abelowtj [K,®\ {0}}, gdzie 0 jest elementem neutralnym działania ©.

Zadanie 5. Pokazać.że zbiór A = {o + by/7 : 0,6 6 Q) jest podciąłem ciała (R,+. •).