5. Algebra liniowa i geometria 1 [ALN1-03]
Specjalność F+I+N+T+Z Poziom 2 Status O
L. godz. tyg. 3 W + 3 Ćw L. pkt. 7 Socr. Codę 11.1
Przestrzenie liniowe:
pojęcie przestrzeni wektorowej, podprzestrzenie przestrzeni wektorowej, przestrzeń rozpięta na układzie wektorów, suma algebraiczna podprzestrzeni, warstwy względem podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa, liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni wektorowej.
Macierze i wyznaczniki:
działania na macierzach, wyznacznik macierzy i jego własności, rząd macierzy, iloczyn macierzy, twierdzenie Cauchy’ego, macierze odwracalne.
Układy równań liniowych:
metoda eliminacji Gaussa, twierdzenie Kroneckera-Capelli, struktura zbioru rozwiązań układu równań liniowych, wzory Cramera.
Przekształcenia liniowe:
przekształcenia liniowe i ich macierze, macierze przejścia, przestrzeń przekształceń liniowych a przestrzeń macierzy, algebra endomorfizmów a algebra macierzy, przestrzeń sprzężona, przekształcenia sprzężone. Diagonalizacja i postacie kanoniczne endomorfizmów:
podprzestrzenie niezmiennicze, wartości własne, wektory własne, diagonalizowalność endomorfizmu, twierdzenie Jordana.
Przestrzenie ortogonalne:
funkcjonały dwuliniowe i ich macierze, nieosobliwość funkcjonału dwuliniowego, formy kwadratowe, przestrzeń ortogonalna i jej podprzestrzeń.
Bazy prostopadłe:
prostopadłość, ortogonalne dopełnienie podprzestrzeni, baza prostopadła, twierdzenie o istnieniu bazy prostopadłej, metody znajdowania bazy prostopadłej, postać kanoniczna formy kwadratowej.
Zaliczenie przedmiotu: zaliczenie ćwiczeń.
Literatura:
1. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, WNT, 2002.
2. A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, 1971.
3. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, 1976.
4. N. W. Jefimow, E. R. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN, 1976.
5. J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, 1978.
6. A. I. Kostrykin, J. I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, 1993.
7. A. Mostowski, M. Stark, Algebra liniowa, PWN, 1975.
8. M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową, PWN, 1975.
Zbiory zadań:
1. L. Jeśmianowicz, J. Łoś, Zbiór zadań z algebry, PWN, 1975. (1981).
2. A. I. Kostrykin (red.), Zbiór zadań z algebry, PWN, 1995.
3. D. K. Fadiejew, I. S. Siminskij, Sbornik zadacz po wyższej algebrie, Moskwa, 1977 (w jęz. ros.).
4. I. W. Proskuriakow, Sbornik zadacz po liniejnoj algebrie, Moskwa, 1978 (w jęz. ros.).
6. Algebra liniowa i geometria 2 [ALN2-03]
Specjalność F+I+N+T+Z Poziom 3 Status O
L. godz. tyg. 3 W + 3 Ćw L. pkt. 8 Socr. Codę 11.1
Izomorfizmy przestrzeni ortogonalnych:
symetrie, rozkład automorfizmu ortogonalnego na symetrie, macierze ortogonalne, grupa ortogonalna. Rzeczywiste przestrzenie ortogonalne:
twierdzenie o bezwładności, sygnatura, przestrzenie euklidesowe, kryterium Sylwestera. Endomorfizmy samosprzężone:
endomorfizmy sprzężone i ich macierze, endomorfizmy samosprzężone, twierdzenie spektralne.