2749772307

5. Algebra liniowa i geometria 1    [ALN1-03]

Specjalność    F+I+N+T+Z    Poziom    2    Status    O

L. godz. tyg.    3 W + 3 Ćw    L. pkt.    7    Socr. Codę    11.1

Przestrzenie liniowe:

pojęcie przestrzeni wektorowej, podprzestrzenie przestrzeni wektorowej, przestrzeń rozpięta na układzie wektorów, suma algebraiczna podprzestrzeni, warstwy względem podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa, liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni wektorowej.

Macierze i wyznaczniki:

działania na macierzach, wyznacznik macierzy i jego własności, rząd macierzy, iloczyn macierzy, twierdzenie Cauchy’ego, macierze odwracalne.

Układy równań liniowych:

metoda eliminacji Gaussa, twierdzenie Kroneckera-Capelli, struktura zbioru rozwiązań układu równań liniowych, wzory Cramera.

Przekształcenia liniowe:

przekształcenia liniowe i ich macierze, macierze przejścia, przestrzeń przekształceń liniowych a przestrzeń macierzy, algebra endomorfizmów a algebra macierzy, przestrzeń sprzężona, przekształcenia sprzężone. Diagonalizacja i postacie kanoniczne endomorfizmów:

podprzestrzenie niezmiennicze, wartości własne, wektory własne, diagonalizowalność endomorfizmu, twierdzenie Jordana.

Przestrzenie ortogonalne:

funkcjonały dwuliniowe i ich macierze, nieosobliwość funkcjonału dwuliniowego, formy kwadratowe, przestrzeń ortogonalna i jej podprzestrzeń.

Bazy prostopadłe:

prostopadłość, ortogonalne dopełnienie podprzestrzeni, baza prostopadła, twierdzenie o istnieniu bazy prostopadłej, metody znajdowania bazy prostopadłej, postać kanoniczna formy kwadratowej.

Zaliczenie przedmiotu: zaliczenie ćwiczeń.

Literatura:

1.    G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, WNT, 2002.

2.    A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, 1971.

3.    A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, 1976.

4.    N. W. Jefimow, E. R. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN, 1976.

5.    J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, 1978.

6.    A. I. Kostrykin, J. I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, 1993.

7.    A. Mostowski, M. Stark, Algebra liniowa, PWN, 1975.

8.    M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową, PWN, 1975.

Zbiory zadań:

1.    L. Jeśmianowicz, J. Łoś, Zbiór zadań z algebry, PWN, 1975. (1981).

2.    A. I. Kostrykin (red.), Zbiór zadań z algebry, PWN, 1995.

3.    D. K. Fadiejew, I. S. Siminskij, Sbornik zadacz po wyższej algebrie, Moskwa, 1977 (w jęz. ros.).

4.    I. W. Proskuriakow, Sbornik zadacz po liniejnoj algebrie, Moskwa, 1978 (w jęz. ros.).

6. Algebra liniowa i geometria 2    [ALN2-03]

Specjalność    F+I+N+T+Z    Poziom    3    Status    O

L. godz. tyg.    3 W + 3 Ćw    L. pkt.    8    Socr. Codę    11.1

Izomorfizmy przestrzeni ortogonalnych:

symetrie, rozkład automorfizmu ortogonalnego na symetrie, macierze ortogonalne, grupa ortogonalna. Rzeczywiste przestrzenie ortogonalne:

twierdzenie o bezwładności, sygnatura, przestrzenie euklidesowe, kryterium Sylwestera. Endomorfizmy samosprzężone:

endomorfizmy sprzężone i ich macierze, endomorfizmy samosprzężone, twierdzenie spektralne.