2335501614

A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa

Definicja 1.7.1. Zbiór M, z topologią ilorazową, wyznaczoną przez p, nazywamy wstęgą Móbiusa.

Definicję tę można trochę inaczej sformułować w następujący sposób. W zbiorze C wprowadzamy relację równoważności:

a ~ ó -ś=> a = —b.

Wtedy zbór C/~, wszystkich klas abstrakcji z topologią ilorazową, jest właśnie wstęgą Móbiusa.

Sam cylinder C jest również pewną przestrzenią ilorazową. Mianowicie, C — K²/~, gdzie K² jest kwadratem {(x, y) € IR²; 0 < x < 1,0 < j/ < 1}, a~ jest relacją równoważności w K² zdefiniowaną jako:

{x,y) ~ {x',y') •*=> (x,y) = (x',y') V {x,x'} = {0,1}, y = y'.

Wstęgę Móbiusa można zdefiniować inaczej; jako przestrzeń ilorazową kwadratu K² względem relacji równoważności ~ określonej jako:

(x,y) ~ (x',y') <=>• (x,y) = {x',y') V {x,x'} = {0,1}, y = 1 - y'.

Oto jeszcze inne spojrzenie na wstęgę Móbiusa. Można ją zdefiniować przy pomocy działania grupy Z, liczb całkowitych. Dokładniej zajmiemy się tym w Rozdziale 3. Niech X będzie nieskończonym paskiem

x = {{x,y) eK²; -\^y< 5}

z topologią indukowaną z R². Rozpatizmy działanie

Z x X —> X, m(x,y) = (m + x, (—1 )^my).

Przestrzeń orbit X/'Ł jest homeomorficzna ze wstęgą Móbiusa M.

Ponieważ ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, więc:

Stwierdzenie 1.7.2. Wstęga Móbiusa M jest przestrzenią spójną. 13

Wstęgę Móbiusa można zanurzyć w R³. Odwzorowanie / : M —> R³, określone wzorem {o, -o) I—. ((s² - y²)(2 + xz), 2xy(2 + xz), yz), gdzie a = (x,y, z), jest ciągłym odwzorowaniem różnowartościowym.

W dalszych częściach tego opracowania będziemy mówić o przestrzeniach topologicznych homo-topijnie równoważnych. Zanotujmy teraz, że wstęga Móbiusa M i cylinder C, to dwie przestrzenie homotopijnie równoważne ([16] 138).

1.8 Powierzchnie

Powierzchnią nazywamy każdą 2-wymiar ową rozmaitość zwartą i spójną.

Niech X\, X% będą dwiemia rozłącznymi powierzchniami. Sumą spójną tych powierzchni nazywamy powierzchnię, oznaczaną przez X\#X2, która powstaje przez wycięcie z każdej z tych powierzchni małego dysku i sklejenie brzegów. Pokazuje się, że definicja zbioru X\jjX-z nie zależy od wyboru dysków oraz, że X\#X2 jest istotnie powierzchnią.

Twierdzenie 1.8.1 ([16] 99). Każda powierzchnia X jest homeomorficzna z dokładnie jedną z następujących powierzchni:

(a)    S²#T#...#T, gdzie m ź 0 i T = S¹ x S¹ (torus),

(b)    S²# R²(Ri#... #P²(R), gdzie m ^ 1. 13

Uwaga 1.8.2 ([16]).

(a)    Suma spójna dwóch płaszczyzn rzutowych, to butelka Kleina.

(b)    T#P²(R) « P²(R)#P²(R)#P²(R). 3