2335501605

14

A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa

Definicja 2.6.1. Brzegiem kostki Iⁿ nazywamy zbiór

dl" = {(ai,...,a_n) € a* = 0 lub <Zj = 1, dla pewnego i}.

Definicja 2.6.2. Przez P_n(X,p) oznaczamy zbiór wszystkich ciągłych odwzorowań a : /” —* X takich, że a(dlⁿ) = {p}.

Definicja 2.6.3. Mówimy, że odwzorowania <r, r : /" -—* X, należące do P_n(X,p) są homotopij-nie równoważne jeśli są homotopijne względem brzegu dlⁿ, tzn., jeśli istnieje ciągle odwzorowanie F : /" x I —* X takie, że

F(y, 0)    =    a(y),    dla    y G

F{y, 1)    =    r(y),    dla    y e

F(y,t)    =    p,    dla    y€dlⁿ,    t € I.

Powyższa relacja homotopijności jest relacją typu równoważności w zbiorze P_n(X,p). Klasy abstrakcji oznaczamy przez [cr]. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez n_n(X,p). Mnożenie w n„(X,p) definiuje się jako

HM = H,

gdzie

gdy 0 < ti < gdy    5 < ti < 1.

Mnożenie to jest poprawnie zdefiniowane. Zbiór n„(X,p), z takim mnożeniem jest grupą.

Stwierdzenie 2.6.4 ([16] 156).

(1)    Jeśli istnieje droga a € D(p,q), to grupy ir_n(X,p) i n_n(X,q) są izomorficzne.

(2)    Jeśli przestrzenie X i Y mają ten sam typ homotopii, to ich n-te grupy homotopii są izomorficzne.

(3)    Jeśli n ^ 2, to grupa ir_n(X,p) jest abelowa.

(4)    Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech f : X —* Y będzie funkcją ciągłą. Określa się wtedy, w sposób funktorialny, homomorfizm grup f, : n_n(X,p) —* n„(Y, f(p)). Jeśli wszystkie homomorfizmy /* (dla każdego n ^ 1) są izomorfizmami, to f jest homotopijną równoważnością. KI

2.7 Hipoteza Poincare

Hipoteza 2.7.1 (Poincar’e, 1895). Jeżeli X jest zwartą, spójną i jednospójną rozmaitością (topologiczną) wymiaru 3, to X jest homeomorficzne z trójwymiarową sferą §³.

Hipoteza ma naturalne uogólnienie na wszystkie wymiary n > 2. Dla n = 2 problem rozstrzygnął pozytywnie sam Poincare. W 1961 roku S. Smalę podał dowód dla n ^ 5, a w 1981 roku M. Friedman dla n = 4 (patrz [5]). Pozostała do rozstrzygnięcia tylko klasyczna wersja tej hipotezy.