2335501608

16

A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa

Załóżmy, że grupa G działa na przestrzeń topologiczną X. Jeśli x € X, to oznaczamy:

G_x = {g e G,gx = x}.

Zbiór G_x jest podgrupą grupy G, zwaną stabilizatorem w punkcie x. Można zatem rozważać zbiory orbit postaci G/G_x. Zbiór G/G_x pokrywa się oczywiście ze zbiorem warstw grupy G, względem podgrupy G_x.

Jeśli wszystkie odwzorowania postaci x >-* gx są ciągłe, to mówimy, że działanie G x X —► X jest ciągle oraz, że X jest G-przestrzenią. Ciągle działanie G x X —> X, to nic innego, jak homomorfizm grup G —►Top(JT), gdzie Top(JĆ) jest grupą wszystkich homeomorfizmów z X do X.

Stwierdzenie 3.2.3. Jeśli X jest G-przestrzenią, to odwzorowanie naturalne T) : X —» X/G, x i—» Gx, jest ciągłym odwzorowaniem otwartym.

Dowód. Odwzorowanie i]: X —> X/G jest oczywiście ciągle (gdyż X/G ma topologię ilorazową). Niech U C X będzie zbiorem otwartym w X. Należy pokazać, że r){U) jest zbiorem otwartym w X/G, tzn., że zbiór T]~ⁱT](U) jest otwarty w X. Wynika to z równości:

17^_1I)(£0 = U_s6o9^K

Zbiory postaci gU są otwarte w X, gdyż x *-* gx jest homeomorfizmem. S

Stwierdzenie 3.2.4. Załóżmy, że grupa G jest skończona. Jeśli X jest G-przestrzenią, to odwzorowanie naturalne r): X —► X/G, x >—> Gx, jest domknięte.

Dowód. Niech F C X będzie zbiorem domkniętym w X. Należy pokazać, że r](F) jest zbiorem domkniętym w X/G, tzn., że zbiór 7]~ⁱrj(F) jest domknięty w X. Wynika to z równości:

n-'r,(F) = U_a£o S^F-

Zbiory postaci gF są domknięte w X, gdyż x i—* gx jest homeomorfizmem. Zbiór rj~ ^lrj(F) jest więc skończoną sumą zbiorów domkniętych, a zatem jest zbiorem domkniętym. KI

3.3 Produkty

Niech G\,G2 będą grupami. Załóżmy, że X\ jest Gi-przestrzenią, a X2 jest G2-przestrzenią. Mamy wówczas ciągłe działanie

(Gi x G₂) x (*i x X₂) ^ Xi x X₂, (a,b)(x_ltx₂) = (ax_ubx₂).

Przestrzeń X\ x X2 jest więc G\ x G2-przestrzenią. Mamy zatem przestrzeń orbit X\ x JĆ2/G1 x G2-

Stwierdzenie 3.3.1 (PHi5). Przestrzenie topologiczne X\ x JĆ2/G1 x G2 i {X\/G\) x (JĆ2/G2) są homeomorficzne. Homeomorfizmem jest odwzorowanie [o, b] 1—» ([a], [6]). K!

Przykład 3.3.2.

(1)    Niech Z x Z działa na R² jako: (a, b)(x, y) = (a + x, b + y). Wtedy

R²/(Z x Z) « (R/Z) x (R/Z) «S'xS‘ (torus).

(2)    Niech G = Z, X = C \ {0}. Rozpatrzmy działanie

Z x X —* X, ax = 2^ax.

Zbiór C \ {0} jest więc Z-przestrzenią. Można pokazać, że przestrzeń orbit (C \ {0})/Z jest home-omorficzna z torusem S¹ x S¹.

(3)    ([16] 55). Niech T : R" \ {0} —* Rⁿ \ {0} będzie homeomorfizmem określonym wzorem T(x) — 2x. Rozpatrzmy grupę G = (T*; i € Z}. Grupa ta działa na Rⁿ \ {0} (T*x = Tⁱ(x)). Można pokazać, że (Rⁿ \ {0})/G « §"^-1 x S¹. 13