2335501601

10

A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa

Symetryczność. Niech F : I x I —> X będzie homotopią od a do r. Definiujemy odwzorowanie G : / x I —» X, przyjmując:

G(s, t) = F(s, 1 - t), dla s,t£l.

Wtedy G jest homotopią od r do a.

Przechodniość. Niech F,G : I x I —> X będą homotopiami odpowiednio od cr do r i od r do p. Definiujemy odwzorowanie H : I x / —» X następująco:

f F(s, 2£),    dla s £ I, 0 < t < i,

»(«,() = ! ,

{ G(s,2t-l), dla s£l, |    1.

Odwzorowanie // jest homotopią od a do p. 13

Wykażemy teraz, że relacja homotopijności zachowuje działania określone na zbiorach dróg. Stwierdzenie 2.2.2. Niech a, a' £ D{p, q), r, t' £ D(q, r). Jeśli a ~ a' i r ~ t', to ar ~ a'r'.

Dowód. Niech F : I x / —► X będzie homotopią od a do a' i niech G : I x I —* X będzie homotopią od r do r'. Wówczas, dla każdego teł mamy drogi F_t £ D(p, q) i G₍ £ D(q, r). Drogi te możemy składać. Definiujemy więc odwzorowanie H : I x H —> X przyjmując H(s,t) = F_tG_t{s), dla s,t € I, tzn.

f F(s,t),    dla 0 ^ s ^ s,

H(s,t) = {    ,    ²

[ G(2s-l,t), dla 1    1.

Łatwo sprawdzić, że FI jest homotopią od ar do o't'. KI

Stwierdzenie 2.2.3. Załóżmy, że a £ D(p,q), t £ D(q,r), p £ D(r,s), gdzie p,q,r,s £ X. Wtedy (<tt)/x ~ a(rp).

Dowód.

r	gdy	0 < t ^	r o-(2t>,	gdy
= | r(4t - 1),	gdy		a(r,L)U) = 1 t(4( - 2),	gdy	\ <
	gdy	\ l.	{ M«-3),	gdy	| < t <

Homotopię od (ar)p do a{rp) zadaje odwzorowanie

°"Ctqfr).	gdy	0 s$ s ^
r(4s -1	-1), gdy	^ < S ^
	-), gdy	< 8 < 1. K

Stwierdzenie 2.2.4. Niech a,r £ D{p, q) i niech a', t' £ D{q,p) będą drogami odwrotnymi odpowiednio do a ir. Jeśli a ~ r, to a' ~ r'.

Dowód. Niech F : I X I —* X będzie homotopią od a do a'. Wtedy G : I X I -—* X, G(s,t) = F(1 — s, t), jest homotopią od a' do r'. KI

Stwierdzenie 2.2.5. Niech a £ D(p,q) i niech cr' £ D{q,p) będzie drogą odwrotną do a. Wtedy aa' ~ e_p, a'a ~ e_q, gdzie e_p £ D(p,p), e_q £ D{q,q) są drogami stałymi przyjmującymi stałe wartości odpowiednio p i q.

Dowód. Homotopię od aa' do e_p zadaje odwzorowanie

<t(2s),	gdy	0 < s s$
a(2 -21- 2s), gdy
P,	gdy

Podobnie określa się homotopię od a'a do e_q. KI