2335501612

A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa

Zauważmy, że (4) ma sens dzięki (3). Zauważmy również, że rodzina {Supp(e„)}_sgs jest pokryciem (domkniętym) przestrzeni X. Istotnie, niech x G X. Wtedy, z (4), istnieje s G S takie, że e_s(x) ^ 0, a zatem x G Supp(e_s).

Twierdzenie 1.4.3. Niech X będzie przestrzenią parazwartą i U jej otwartym pokryciem. Istnieje wtedy rozkład jedności względem U. KI

Dowód znajdziemy w [7]. Prosty dowód (dla X C R") jest w [25].

1.5    Rozmaitości topologiczne

Niech M będzie przestrzenią topologiczną.

Definicja 1.5.1. Mapą n-wymiarową punktu p G M nazywamy każdą parę (U, <p), w której U jest zbiorem otwartym w M zawierającym p, a ip : U —* Rⁿ jest homeomorfizmem na pewien otwarty podzbiór w R".

Definicja 1.5.2. Każdy zbiór n-wymiarowych map {(f/_Q,</?_Q)} takich, że U_QU_a = M nazywamy n-wymiarowym atlasem przestrzeni M.

Definicja 1.5.3. Każdą przestrzeń topologiczną M posiadającą n-wymiarowy atlas nazywamy n-wymiarową rozmaitością topologiczną.

1.6    Rzeczywista przestrzeń rzutowa

Przez §ⁿ oznaczamy sferę n-wymiarową, tzn.

Sⁿ = {(ii.....®b+i) G Rⁿ⁺¹; x\ Ą-----fi*+i = !}•

W szczególności: §° = (—1,1}, S¹ = {(x,y) G R²; x² + y² = 1}. Topologia na §ⁿ jest indukowana z Rⁿ⁺¹.

Niech P"(R) będzie rodziną wszystkich dwuelementowych zbiorów postaci {x, — x}, gdzie x G S" i niech p : S” —* P"(R) będzie fimkcją określoną wzorem

p(x) = {x, — x}, dla x G S".

Funkcja p jest surjekcją.

Definicja 1.6.1. Zbiór Pⁿ(R) z topologią ilorazową wyznaczoną przez p nazywamy n-wymiarową przestrzenią rzutową rzeczywistą.

Istnieją różne (równoważne) sposoby definiowania n-wymiarowej przestrzeni rzutowej rzeczywistej. Można na przykład tę przestrzeń wprowadzić w następujący sposób.

Niech ~ będzie relacją w §ⁿ zdefiniowaną wzorem:

x ~ y <==> x = ±y.

Jest to relacja typu równoważności. Klasa abstrakcji elementu x G §ⁿ jest dwuelementowym zbiorem {x, —x}. Zatem Pⁿ(R) = §ⁿ/~, gdzie topologia na Sⁿ/~ jest ilorazowa (wyznaczona przez kanoniczną surjekcję).

To samo można wypowiedzieć w języku działań grup na przestrzeń topologiczną. Dokładniej zajmiemy się tym w Rozdziale 3. Niech Z2 = {—1,1}. Sfera §” jest ^-przestrzenią z działaniem

Z2 x §ⁿ,    (a, x) 1—► ax.

Przestrzeń rzutowa Pⁿ(R), to nic innego, jak przestrzeń orbit §ⁿ/Z2- Dzięki temu otrzymujemy (patrz odpowiednie fakty w Rozdziale 3):