6 (27)

100

5. Różniczkowanie

Zauważmy, że równość zachodzi przy/[x) m j(x³+x²).

Wskazówka. Zastosuj twierdzenie 5,15, przyjmująca = 0,/? = +1.dowodząc, że istnieją se(0,1) ir e(—1,01 dla których /(³>(s)+/(³t(t) = 6.

18. Niech/ będzie funkcją rzeczywistą na (.a, b), n—liczbą naturalną i niechistnieje dla wszystkich; t e (a, by. Niech a,piP będą jak w twierdzeniu Taylora 5.15. Określmy

m-m

\    25. Niech/będzi

k x € <a, by. Niech I Uzupełnić następ i) Wybrać x₂ € (

<2(0 = ■

t-P

dla t e (a, b}, t / /?. Zróżniczkować n-1 razy przy £ = a funkcję/{f)-/(/ł) = (t-/?)Q(t)i wyprowadzić następującą wersję twierdzenia Taylora

Q(»-1)

m=m+^y(P-»r.

19. Niech/.będzie określona na (— 1,1) i niech/'(0) istnieje. Niech — 1 < a„ < ,

Określmy ilorazy różnicowe

/(&)-/<«.)

D. = ■

P.-«*

Udowodnić następujące stwierdzenia:

a)    Jeżeli a„ < 0 < /?„ to lim £>„ = /'(0).

b)    Jeżeli 0 < a„ < /9„ oraz {/5„/(/?,—a„)} jest ograniczony, to limD,

c)    Jeżeli /'jest ciągła na (— 1,1), to limD„ = /'(O).

Podać przykład, w którym/ byłaby różniczkowalna na (-1,1) (lecz/' nie byłaby ciągła w 0) i dobrać tak a„, p„ dążące do 0, aby granica limD„ istniała, lecz była różna od/'(0).

20.    Sformułować i udowodnić nierówność wynikającą z twierdzenia Taylora i pozostającą prawdziwą także dla funkcji wektorowych.

21.    Niech £ będzie domkniętym podzbiorem R¹. W zadaniu 22 z rozdziału 4 pokazaliśmy, że istnieje ciągła funkcja rzeczywista/na R‘,dla której E jest jądrem (tj. zbiorem, na którym i tylko na którym/przyjmuje wartość 0). Czy jest możliwe dla dowolnego domkniętego zbioru E znaleźć taką funkcję, która byłaby przy tym różniczkowalna na R¹? Analogicznie dla n-krotnej różniczkowalności oraz dla funkcji mających na R¹ pochodne dowolnego rzędu.

22.    Niech /będzie funkcją rzeczywistą określoną na prostej rzeczywistej. Nazwiemy x punktem stałym dla /jeśli f(x) = x.

a) Udowodnić, że jeśli/jest różniczkowalna i/'(t)    1 dla dowolnego t, to/ma co najwyżej jeden punkt stały.

b)    Przy założeniu punktu a) może nie być punktów stalych. Jako przykład rozpatrzyć f(t) = f+(l+e')~^l.

c)    Jeśli istnieje stała A, 0 < A < 1 i |/'(t)| A dla wszystkich t rzeczywistych, to istnieje punkt stały x oraz x = limx„, gdzie x₀ jest dowolną liczbą rzeczywistą, ax,= /(x„_,) dla n — 1,2, 3,...

d)    Wykazać, że proces opisany w c) może być przedstawiony przez łamaną drogę

(*|» X₂)-*(x₂, X₂)-*(x_?, x₃)->(x₃, x₃)-»(x₃, x₄)-*.».

23.    Funkcja/okreśionawzorem/(x)= (x³+1)/3 posiada trzy punkty stale, powiedzmy u,P,y, gdzie— 2 < a < < — 1, 0 < P < 1, 1 < y < 2. Dla dowolnie wybranego x₃ określmy {x„}, kładąc x„₊i = /(x„).

a)    Udowodnić, że x„-*—oo przy n -» co, jeśli X| < a.

b)    Udowodnić, że x„-»/ł przy n-+oo, jeśli a < x_t < y.

c)    Udowodnić,żex„-*+<x> przy n-»oo,jeśliy < x,.

Widzimy więc, że punkt P może być wyznaczony za pomocą tej metody, lecz a i y nie.

24 Proces opisany w części c) zadania 22 może być oczywiście zastosowany w przypadku funkcji odwzorowujących (0, co) w (0, oo).

Ustalmy ot > 1 i niech

-m.

fcc_: interpretację g< [ t) Wykazać, że x c) Wykorzystują

pewnych t„ e (£,, d) Wywnioskow;

jpTTÓwnaj z zadanien e) Pokazać, że mi

hik zachowuje się g'(x 0 Niech /(x) = x 26. Niech/będzie fi (x)| « Al/(x)l na <c Wskazówka. U: dowolnego x €    x₀'

Wynika stąd, że M₀ = 27. Niech y będz ■ości a < x < b, a ś

nazywamy funkcję/ W

Udowodnić, że istniej*

/(x) = i(x+-

ff(*) =

a+x

T+x‘

Zarówno/jak g posiadają w (0, oo) jeden punkt stały y/a. Wyjaśnić na podstawie własności fi g dlaczego zbieżność w zadaniu 16 z rozdziału 3 jest znacznie szybsza niż zbieżność w zadaniu 17. (Porównać/' i g' rysując łamane jak w zadaniu 22.) Uczynić to samo dla 0 < « < 1.

dla dowolnych (x, y,) Wskazówka. Za nie o jednoznaczności rozwiązama./(x) = 0 28. Sformułować niczkowych o postaci

Zauważmy, że układ