5 (3) 2
92
S. Różniczkowanie
Zauważmy, że nie wymagamy różniczkowalności funkcji / i gw punktach a i b. Dowód. Określmy
h(f) - U(b)-f(a)Mt)~ [g(b)-g(a)lf{t) (a < t < b).
Funkcja h jest ciągła w <a, V), różniczko walna w (a, bj i
(i2) 4%i) 1
Dla dowodu twierdzenia wystarczy sprawdzić, że h'(x) = 0 przy pewnym xe(a, b).
Jeśli h jest stała, to h'(x) = 0 przy dowolnym x e (a, b). Jeżeli h{t) > h(a) przy pewnym t e (o, 6), to niech x będzie punktem przedziału <a, b>, w którym h osiąga swoje maksimum (twierdzenie 4.16). Na podstawie (12), x s (a, b), i z twierdzenia 5.8 wynika, bs h\x) =* 0. Jeżeli h(t) -< h(a) przy pewnym t e (a,b), to możemy przeprowadzić analogiczne rozumowanie^ wziąwszy jako punkt x ten punkt przedziału (a, b), w którym h osiąga swoje minimum. \ Twierdzenie to jest często nazywane uogólnionym twierdzeniem o wartości średniej; podany niżej szczególny przypadek -tego twierdzenia jest nazywany twierdzeniem o wartości średniej.
5.10. TWIERDZENIE. Jeżeli / jest ęiąglą funkcją rzęczywiśtą na przedziale (a, V) i jest różnkzkowalna na przedziale (a, b), to istnieje punkt x e (a, b), w którym
m-f{a) = (b-a)f\x\
Dowód. Podstawmy g(x) — x w twierdzeniu 5.9.
5.11. TWIERDZENIE. Niechf będzie funkcją różniczkowalną na przedziale (a, b).
a) Jeżeli f'{x) > 0 dla wszystkich x e (a, b), tof rośnie monotonicznie.
b) Jeżeli f(x) — 0 dla wszystkich x e (a, b), tofjest funkcją stalą.
, c) Jeżelif(x) < 0 dla wszystkich x e (a, b), tof maleje monotonicznie.
Dowód. Prawdziwość powyższych stwierdzeń można wywnioskować z równości f(x2)-f(x1) m (x2-xt)f\x),
prawdziwej dla dowolnej pary liczb Xi,x2, należących do (a, b) przy pewnym x leżącym między xlla x2.
Ciągłość pochodnych
Widzieliśmy już (przykład 5.6 b)), że funkcja/ może mieć pochodną/' istniejącą wszędzie, lecz nieciągłą w pewnych punktach. Nie każda jednak funkcja może być pochodną. W szczególności, pochodne, które istnieją we wszystkich punktach przedziału, mają następu-
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Stosunki międzynarodowe, system międzynarodowy i poliarchia Warto ponadto zauważyć, że nie istnieją
(...) należy zauwazyc, ze nie istnieje możliwość kontrolowania złodziejskich praktyk państwa. Możemy
Prima facie jednak zaletą responsybilizmu jest to, że nie wymaga on postulowania specjalnych zdarzeń
69 (191) kasia: Witam was, dziewczynki, co dziś którą trapi? zosia: Ja zauważyłam, że nie potrafię m
051 2 Równania i nierówności wymierneSprawdzamy, czy znalezione liczby należą do dziedziny. Zauważ,
- gdy świadczenie polega na czynieniu tego rodzaju, że nie wymaga ono osobist
Oceniając pozytywnie repetytorium z kryminologii, muszę jednak zauważyć, że nie może ono być traktow
4 (1432) szego dnia życia swojej córki zauważyli, że nie tylko szukała bliskości i poczucia bezpiecz
1 - , , i n -5" v —-e —2-1 ¥ Ł-> Zauważmy ?że nie jest tu emitowany ani
Zauważmy, że nie jest to ruch jednostajnie przyspieszony.3 Opis ruchu na płaszczyźnie By opisać ruch
I. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Łatwo sprawdzić, że nie jest to funkcja holomorficzna, gdyż nie spełn
Nagłówek Cache-Control Niektóre strony są jednak tak nietrwałe lub wrażliwe, ze nie wymagają buforow
90 IX. Całka oznaczona Łatwo zauważyć że nie wywoła to zmiany wartości samej całki. Wynika to stąd,
Podstawowe koncepcje i definicje 675 kombinacji nie miałoby oczywiście sensu. Zauważmy, że nie możem
do 12 m, choć można wykonać znacznie większe. Ich zaletą jest to, że nie wymagają podpór pośrednich
Wideo angażuje również dlatego, że nie wymaga takiego wysiłku, wystarczy skierować wzrok i czekać. Z
więcej podobnych podstron