IX. Całka oznaczona

Łatwo zauważyć że nie wywoła to zmiany wartości samej całki. Wynika to stąd, że dla obydwu funkcji — pierwotnej i zmienionej — punkty f₍, występujące w sumie całkowej, zawsze można tak wybrać, żeby nie pokrywały się z tymi punktami, w których różnią się wartości funkcji.

b

Uwaga. Własność ta umożliwia nam rozpatrywanie całki Jf (x) dx nawet wtedy, kiedy

a

funkcja /(*) jest nieokreślona w skończonej liczbie punktów przedziału <a, by. W tym przypadku bowiem można naszej funkcji przypisać w tych punktach zupełnie dowolne wartości i można rozpatrywać całkę funkcji określonej już w ten sposób w całym przedziale. Jak widzieliśmy ani istnienie tej całki, ani jej wartość nie zależą od wartości, jakie nadamy funkcji w tych punktach, w których nie była ona określona.

300. Przykłady i uzupełnienia. Jako ćwiczenie podamy kilka przykładów zastosowania kryterium z ustępu 297 do konkretnych funkcji.

1) Powróćmy do funkcji, rozpatrywanej już w ustępie 70, 8):/(*) = l/<?, jeśli x jest nieskracalnym ułamkiem p/q, i f(x) — 0 w pozostałych punktach przedziału <0,1 >.

Przedział <0, 1> rozbijamy na podprzedziały długości Ax,<L Niech N oznacza dowolną liczbę naturalną. Wszystkie przedziały danego podziału rozdzielimy na dwie klasy:

(a)    Do pierwszej klasy zaliczamy przedziały, w których leżą liczby plq o mianownikach q<N; ponieważ liczb o tej własności jest skończenie wiele, więc oznaczając ich liczbę przez k = k_N widzimy, że odcinków pierwszego rodzaju nie może być więcej niż lk_N, a suma ich długości nie przekroczy 2k_NL

(b)    Do drugiej klasy zaliczamy te podprzedziały, które nie zawierają liczb wspomnianej postaci; oscylacja to, funkcji w każdym z tych przedziałów jest oczywiście mniejsza niż l/N.

Jeśli sumę2a>i^X| rozbijemy odpowiednio na dwie sumy, a następnie oszacujemy te sumy częściowe każdą z osobna, to otrzymamy

V to, Ax, < 2k_N A+ -i-.

■⁴-‘    N

2    e

Wybierając najpierw N> —, a następnie X< — = <5, będziemy mieli Tto,Ax,<e, co dowodzi całko-e    4 k_N

walności funkcji.

Przykład ten jest interesujący dlatego, że funkcja ta ma nieskończenie wiele punktów nieciągłości, a mimo to jest całkowalna. Przykłady tego rodząju można zresztą budować opierając się na twierdzeniu

m.

2)    Rozpatrzymy teraz jeszcze raz funkcję Dirichleta [46; 70,7)]: x(x) = 1, jeśli x jest liczbą wymierną, i x(x) = 0, jeśli x jest liczbą niewymierną. Ponieważ w każdym podprzedziale przedziału <0,1 > oscylacja tej funkcji ct> — 1, więc również 2,a>,Ax, = 1, a zatem funkcja ta nie jest całkowalna.

3)    Kryterium istnienia całki oznaczonej wyprowadzone w ustępie 297 można przedstawić w następujące) postaci:

Na to, aby istniała całka oznaczona danej funkcji, potrzeba i wystarcza, by do każdych dwóch liczb e>0, <r>0 można było dobrać takie ó>0, że jeśli tylko wszystkie Ax,<6, to suma

r

długości tych odcinków, w których oscylacje spełniają nierówność

<o,' > e ,

jest mniejsza niż o.