0098

100

IX. Całka oznaczona

Ciągłość funkcji fU) w punkcie t — x oznacza, że do każdej liczby e > 0 można znaleźć takie 8 > 0, że jeśli tylko \h\ < 5, to

/(*)-« </(0 </(*)+e

dla wszystkich wartości zmiennej t z przedziału <x, x+A>. W takim razie zachodzą nierówności

f (x)—£ < m' < /t <AT </(x)+£ ,

a więc

Teraz jest już jasne, że

0'(x) = lim »->o

0(x+h)-0(x)

h

= Hm n = /(x), &-o

co właśnie należało udowodnić.

Doszliśmy do wniosku mającego ogromne znaczenie zasadnicze, a także ważnego dla zastosowań. Jeśli założymy, że funkcja /(x) jest ciągła w całym przedziale <a, ń>, to jest ona całkowalna w tym przedziale [298,1] i nasze twierdzenie da się zastosować w każdym punkcie tego przedziału: pochodna całki (1) względem górnej granicy całkowania x jest wszędzie równa wartości funkcji podcałkowej dla tej górnej granicy.

Innymi słowy, dla funkcji ciągłej f (x) w przedziale <a, b} zawsze istnieje funkcja pierwotna', przykładem takiej funkcji pierwotnej jest całka oznaczona (1) ze zmienną górną granicą całkowania.

W ten sposób otrzymaliśmy wreszcie to twierdzenie, o którym wspominaliśmy jeszcze w ustępie 264.

W szczególności możemy teraz napisać w postaci całek oznaczonych funkcje Fi E Legendre’a [293]

<f    <p

Fik, w) = f ■    ^d~-    E (Ar, <p) = I f 1 — &²sin² 6 M.

i /l-*’sin>0    ^J0

W myśl tego co udowodniliśmy wyżej, będą one funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji

¹    -. |/l-śr²sin^ł9P ,

y 1— /fc^Jsin²y

równymi przy tym 0 dla ę = 0.

Uwaga. Twierdzenie udowodnione w tym ustępie łatwo można przenieść na przypadek całki ze zmienną granicą dolną, ponieważ [1°]

ff(t)dt m - J/(0 dt.

x    b

Pochodna tej całki względem zmiennej x jest oczywiście równa /(x) (jeśli tylko x jest punktem ciągłości funkcji /(x)).