0138

140

IX. Całka oznaczona

przyjmuje w punktach z = a, (a+ó)/2, b te same wartości co i funkcja/(z). Łatwo można teraz dobrać liczbę AT, tak żeby również i pochodna tego wyrażenia przyjmowała w punkcie z =    taką samą wartość

jak pochodna/ ^—^—jtej funkcji. Przy takim wyborze liczby K wyrażenie nasze nie jest niczym innym, jak tylko wielomianem interpolacyjnym Hermite a [130], odpowiadającym węzłom pojedynczym a b i węzłowi podwójnemu ■ W myśl wzoru Hermite'a z resztą [130, (11)] otrzymujemy

/W = P_i(x)+K(x-a)    (*-ó)+    (x-a)    °±£j(x-b) (a < ? < b),

przy założeniu, że funkcja f(x) ma pochodne do czwartego rzędu włącznie.

Całkując teraz tę równość od a do b, otrzymujemy

b    5    j

//(*) dx =    [/(«)++/(«] +    f/'*W)(x-a) (x-    (x-b) dx,

•    m

ponieważ

/<-"»    - /(-■*±Ł) [(-    ^1* - »■

« «

Jeśli założymy, że pochodna f^{1 2}*‘(x) jest ciągła, to tak samo, jak w poprzednich przypadkach, błąd wzoru (8)

b    .    . j

O = ± J>««) (x-a) [x-    (x-b) dx,

można — z uwagi na to, że drugi czynnik w wyrażeniu podcałkowym nie zmienia znaku — przedstawić w następującej postaci:

3 -    f (x-a) (jc- °±Ł^\_x-b) dx =

a

- / (*- ^)‘ [(- *!*-)’- * — &£/”«•> <'» ■

M

Jeśli przedział <a, ó> podzielimy na n równych części, to dla wzoru Simpsona (10) otrzymamy błąd w postaci

Wyrażenie to przy wzroście n maleje mniej więcej jak 1/n⁴; wzór Simpsona jest więc rzeczywiście ko* rzystniejszy od obu poprzednich.

dx

T+3ć^r‘

Aby uniknąć obliczenia czwartej pochodnej

i

Dla przykładu powróćmy jeszcze raz do całki J

o

1

(‘) Jeśli funkcja /(jc) jest wielomianem stopnia nie wyższego niż 3, to £ jest oczywiście równe 0. Znaczy to, że dla takiego wielomianu wzór (8) jest dokładny (o czym łatwo można się przekonać również

2

bezpośrednio).