0080

82

IX. Całka oznaczona

W każdym z odcinków <*,, x,+i> wybierzmy dowolny punkt x = Ę, (^l):

X| < f, < x_ł+1 (i = 0,1,..., n —1)

i utwórzmy sumę

a = ]T/(£i) Ax_t.

Mówimy, że suma <r ma przy X -* 0 skończoną granicę I, jeśli do każdej liczby e > 0 można znaleźć taką liczbę S > 0, że jeśli tylko X < 8 (tzn. jeśli rozpatrywany odcinek jest rozbity na części długości Jx, < 8), to nierówność

|ff—/| < e

zachodzi przy dowolnym wyborze liczb £_t.

Zapisujemy to w sposób następujący:

I = lim a .

A-O

Jak zwykle, tej definicji „w języku e—8", przeciwstawimy definicję „w języku ciągów”. Wyobraźmy sobie, że przedział <a, ó> rozbijamy kolejno na części, najpierw jednym sposobem, następnie — drugim, trzecim itd. Taki ciąg podziałów przedziału na części nazywa się normalny, jeśli odpowiedni ciąg X_lt X₂, X₃, ... wartości A jest zbieżny do zera.

Równość (3) można teraz rozumieć w ten sposób, że ciąg wartości sumy o, odpowiadający dowolnemu ciągowi podziałów normalnych rozpatrywanego przedziału, jest zawsze zbieżny do granicy równej I, niezależnie od wyboru punktów f _t.

Dowód równoważności obu tych definicji można przeprowadzić analogicznie, jak w ustępie 53. Druga z tych definicji umożliwia przeniesienie podstawowych pcjęć i twierdzeń teorii granic na przypadek granicy tego nowego rodzaju.

Skończoną granicę I sum a przy X -+ 0 nazywamy całką oznaczoną funkcji f(x) w przedziale <a, bj i oznaczamy symbolem

I = Jf(x) dx\

a

w przypadku, kiedy granica taka istnieje, funkcję/(*) nazywamy całkowalną w przedziale <a, bj.

Liczby a i b noszą odpowiednio nazwy dolnej i górnej granicy całki. Przy ustalonych granicach całka jest liczbą stałą.

Podana definicja pochodzi od Riemanna, który pierwszy wypowiedział ją w postaci ogólnej oraz zbadał zakres jej zastosowania. Dlatego sumę <r nazywa się czasami sumą Riemanna (²); w książce tej natomiast wolimy sumę a nazywać sumą całkową dla podkreślenia jej związku z całką.

O Poprzednio jako braliśmy we wszystkich przypadkach najmniejszą wartość xi.

(²) W rzeczywistości już Cauchy posługiwał się wyraźnie granicami podobnych sum, jednakże tylko w przypadku funkcji ciągłych.