0096

98

IX. Całka oznaczona

10“ Uogólnione twierdzenie o wartości średniej. Zakładamy, że 1) funkcje /(x) i g(x) są całkowalne w przedziale <a, 6>; 2) m </(x) < M; 3) g(x) ma ten sam znak M’ całym tym przedziale, tzn. g (x) 5= 0 lub g (x) < 0. Wtedy

b    b

j f(x)g (x) dx = p J g (x) dx ,

a    a

gdzie m < p < M (‘).

Dowód. Niech będzie najpierw g (x) > 0 i a < b; wtedy mamy

mg (x) </ (x) g (x) < Mg (x) .

Z tej nierówności na podstawie własności 6° i 3° otrzymujemy

b    b    b

m j g (x) dx^j /(x) g (x) dx < M J g (x) dx.

aa    a

Z założenia o funkcji/(x) mamy w myśl 5°

b

f g(x) dx 5=0.

a

Jeśli całka ta jest równa 0, to oczywiście z poprzednich nierówności wynika, że jest jednocześnie

b

/ /(*) 9 O) dx = 0,

a

i w tym przypadku twierdzenie jest prawdziwe. Jeśli natomiast całka funkcji g(x) jest większa od zera, to dzieląc przez nią wszystkie człony otrzymanej poprzednio podwójnej nierówności i wprowadzając oznaczenie

b

f f(x) g (x) dx

a

—i-= /'•

/ g (x) dx

a

otrzymujemy żądany wynik.

Od przypadku a < b łatwo jest przejść do przypadku a > b, podobnie jak od założenia 9(x) ^ 0 do założenia g (x) -*5 0; ani przestawienie granic, ani zmiana znaku funkcji g (x) nie naruszają równości.

Jeśli funkcja/(x) jest ciągła, to wzór ten można napisać w postaci

b    b

j f(x) g (x) dx = /(c) J g (x) dx,

a    a

gdzie c jest punktem z przedziału <a. ó>.

(‘) Istnienie całki z funkcji /(x) g (x) wynika z ustępu 299, II. Można by zresztą zamiast całkowa)' ności funkcji /(.r) zakładać wprost całkowalność iloczynu f(x)g{x).