0090

92

IX. Całka oznaczona

Przyjmijmy teraz

i _    «

2m'Q ’

gdzie 12 oznacza oscylację funkcji f(x) w całym przedziale <a, 6>, i rozpatrzmy dowolny taki podział tego przedziału, w którym wszystkie Ax,<d; oznaczamy przez S górną sumę całkową, odpowiadającą temu podziałowi.

W celu oszacowania różnicy między S i /*, wprowadzimy jeszcze trzeci podział, który powstaje przez nałożenie obydwóch poprzednich podziałów. Jeśli górną sumę całkową odpowiadąjącą temu nowemu podziałowi oznaczymy przez S", to z pierwszej własności sum Darboux [296] mamy S"<S\ a więc [patrz (9)]

S'</*+ye.

Z drugiej strony, z uwagi w ustępie 296 wiemy, że różnica S—S" jest niewiększa niż iloczyn liczby Q i sumy długości Ax, tych przedziałów drugiego podziału, wewnątrz których leżą punkty dzielące pierwszego podziału. Takich podprzedziałów jest nie więcej niż m’ a długość każdego z nich jest mniejsza niż S. A więc

S-S'<m'.Q<5 =i_£,

a stąd dzięki nierówności (10) mamy

S </* + £.

Ponieważ, z drugiej strony, jest S>I*, więc jeśli tylko Ax,<d, to

0 < S-I* < e,

zatem rzeczywiście S-*■!*.

Z udowodnionego twierdzenia wynika następująca równość:

lim (S-s) = /*-/*.

X-,o

Z zależności tej możemy wyprowadzić kryterium istnienia całki oznaczonej w następującej postaci [porównaj 297)]:

Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia całki oznaczonej jest równość całek Darboux dolnej i górnej, tzn.

/. = /*•

Jeśli warunek ten jest spełniony, to oczywiście całka jest równa obu całkom Darboux.

Nowa postać warunku istnienia całki oznaczonej jest wygodniejsza w zastosowaniach niż poprzednia. Do sprawdzenia, że obie całki Darboux są równe, wystarczy pokazać, że dla każdego e>0 przynajmniej jedna para sum s i S spełnia nierówność

S —s < e .

Rzeczywiście, z nierówności (S) wynika, że

0 </*-/* < e ,

a stąd wynika już dowodzona równość.

Łatwo się domyślić, jak można w związku z tym uprościć również warunek całkowalności, udowodniony w poprzednim ustępie [patrz 3)].

§ 2. Własności całek oznaczonych

302. Całka w przedziale zorientowanym. Mówiliśmy dotychczas o „całce oznaczonej w przedziale od a do b”, przy czym zawsze przyjmowaliśmy, iea < b. Teraz pozbędziemy się tego ograniczającego założenia.