0102

104

IX. Całka oznaczona

Podstawiąjąc wartości funkcji w lewych końcach przedziałów, otrzymujemy <¹n — (aqY(oqⁱ⁺ⁱ-aq') = a"^+,(0— 1) V (q^t‘²ⁱ)‘.

i-o    i-o

Załóżmy teraz, że ft =+ — 1; wtedy

a, = a»^+t(q-1)    ₌ (y+i__ad+i) _£zJ_

g***-1    9"⁺¹-l

i korzystając ze znanej już granicy [77 przykład 5), (c)], otrzymujemy

f x>^tdx = lim <r„ = (ó'^1+,-a'‘⁺¹) lim -    .

.    »^«o    ,-i ₉"⁺¹--l    /U + l

W przypadku /i = — 1 mamy

= n(q„-1) = n    ^_1)

i na podstawie innego znanego wyniku [77, 5) (b)]

6 _

I = lim <r„ = limn (l/ ——1) = ln b — ln a .

* X n-»oo    i»-¹oo W &    /

«

3) J"sin¹ </r. Dzielimy przedział <<?, 6> na n równych części, biorąc h =———; obliczamy wartości

a    ”

funkcji sin ¹ w prawych końcach przedziałów, jeśli a<b i w lewych, jeśli a>b. Wtedy

n

o, = sin(a+ih) .

i-i

Znajdziemy krótszy wzór na sumę, po prawej stronie tej równości. W tym celu mnożymy ją i dzielimy przez 2 sin ^A, a następnie każdy składnik wyrażamy jako różnicę kosinusów. W ten sposób mamy

2sin-h

Z sin (a+ih) --2 sin (a+ih) sin\h —

2 sin i- h    ²

^2sinl¹ 1-1

= Ż H i) ¹) “^cos (^fl+ (^,+ i) ¹)]⁼

cos (a+ y¹)- cos ^a+ (n+ -i-) ńj

2 sin — A 2

Tak więc

4-A

^ff" ⁼ ~to±h ^^C0S (⁰⁺ 2¹)“^C0S (⁶⁺ 2 ¹)] •

2

Ponieważ h-^0, gdy    więc

1

2

j sin x dx — lim ■² ^— [cos (a+ -¹ A)—cos (ó+ ~ A)] ² cos a—cos b .