0082
84
IX. Całka oznaczona
Sumy Darboux mają następujące, proste własności:
Własność 1. Jeśli do danych punktów podziału dodamy nowe punkty, to może to spowodować jedynie co najwyżej zwiększenie się dolnych sum Darboux i zmniejszenie się górnych.
Dowód. W dowodzie tej własności wystarczy ograniczyć się do przypadku, w którym do danych już punktów podziału dodajemy tylko jeden nowy punkt podziału x'.
Załóżmy, że punkt ten leży między xk a xk+1; mamy więc
xk < x’ < xk+1.
Jeśli teraz przez S' oznaczymy nową sumę górną, to od poprzedniej sumy S będzie się ona różniła tylko tym, że w sumie S przedziałowi <xk, xk+1> odpowiada składnik
Mk(xk+i ~xk),
a w nowej sumie S' temu samemu przedziałowi odpowiada suma dwóch składników
M'k(x'-xk)+Mk(xk+1-x'),
gdzie Mk i Mk oznaczają odpowiednio kresy górne funkcji f(x) w przedziałach <x*, .r'> i <x', **+!>. Ponieważ są to podprzedziały przedziału (xk,, xk+l), więc
m; < Mk, Mk < Mk ,
a stąd mamy dalej
Mk{x’ - xk) < Mk(x' -xk),
M'k(.xk+1 - X') < Mk(xk+l - X') .
Dodając stronami te nierówności, otrzymujemy
Mk(x’-xk)+M'iXxk+i-x') < Mk(xk+i~xk).
Stąd wynika już, że S' < S. Dowód dla sumy dolnej przebiega analogicznie.
Uwaga. Ponieważ różnice Mk—M’k i Mk—Mk nie są oczywiście większe od oscylacji J3 funkcji/(x) w całym przedziale <o,ó>, więc różnica S-S’ nie może być większa od iloczynu QAxk. Uwaga ta pozostaje słuszna również w przypadku, kiedy w przedziale <xk, xk+1> wybrano jeszcze pewną ilość nowych punktów podziału.
Własność 2. Każda dolna suma Darboux jest niewiększa od każdej sumy górnej, nawet wtedy, kiedy sumy te odpowiadają różnym podziałom przedziału.
Dowód. Przedział <a, bj rozbijamy w dowolny sposób na mniejsze podprzedziały i znajdujemy sumy Darboux
(I) sx i Sk.
Rozpatrzmy teraz jakiś inny podział przedziału <a, bj, nie związany niczym z poprzednim podziałem. Oznaczmy sumy Darboux odpowiadające temu nowemu podziałowi przez
(II) s2 i S2.
Należy więc udowodnić, te st < S2. W tym celu rozpatrzmy trzeci, pomocniczy podział przedziału <a, bj. Jako punkty dzielące wybierzemy teraz wszystkie punkty dzielące
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
88 IX. Całka oznaczona Dla pierwszej sumy, podobnie jak w poprzednim twierdzeniu, mamy < e(b-a).
128 IX. Całka oznaczona Przejdźmy do rozpatrzenia drugiej sumy z równości (2). W przedziale <0, m
82 IX. Całka oznaczona W każdym z odcinków <*,, x,+i> wybierzmy dowolny punkt x = Ę, (l): X
86 IX. Całka oznaczona e > 0 można znaleźć taką liczbę ó > 0, że skoro tylko X < 5 (tzn. je
90 IX. Całka oznaczona Łatwo zauważyć że nie wywoła to zmiany wartości samej całki. Wynika to stąd,
92 IX. Całka oznaczona Przyjmijmy teraz i _ « 2m Q ’ gdzie 12 oznacza oscylację
94 IX. Całka oznaczona 303. Własności całek wyrażające się równościami. Podamy dalsze własności
96 IX. Całka oznaczona więc analogicznie w przedziale <at, bf> możemy znaleźć podprzedział
98 IX. Całka oznaczona 10“ Uogólnione twierdzenie o wartości średniej. Zakładamy, że 1) funkcje /(x)
100 IX. Całka oznaczona Ciągłość funkcji fU) w punkcie t — x oznacza, że do każdej liczby e > 0 m
102 IX. Całka oznaczona — jak to widać z założeń o funkcji /(x) są nieujemne, więc zastępując
104 IX. Całka oznaczona Podstawiąjąc wartości funkcji w lewych końcach przedziałów, otrzymujemy
106 IX. Całka oznaczona 308. Podstawowy wzór rachunku całkowego. Widzieliśmy już w ustępie 305, że d
108 IX. Całka oznaczona Ponieważ poszczególne składniki łatwo jest scałkować według wzoru (A), mamy
110 IX. Całka oznaczona wyjdziemy z formalnie obliczonej funkcji pierwotnej —— arc tg 3x(x2—1)
112 IX. Całka oznaczona napisać analogiczny wzór dla całek oznaczonych (5) J f(x)
114 IX. Całka oznaczona W analogiczny sposób sprawdza się pozostałe wzory. 3) Znaleźć całki n/2
116 IX. Całka oznaczona Uwaga. Zwróćmy uwagę na ważną właściwość wzoru (9). Przy obliczaniu całki
118 IX. Całka oznaczona Można to osiągnąć drogą zamiany zmiennych według wzoru (ac+ ]/ x2— 1 cos 95)
więcej podobnych podstron