0106

108

IX. Całka oznaczona

Ponieważ poszczególne składniki łatwo jest scałkować według wzoru (A), mamy stąd od razu

nil

ę sin (2/w—1) x j_x _ n_

J sin x    2

(b) Ze wzoru (1) znajdujemy, podstawiając a = — x, h = 2m

1— cos 2/7*    sin²n.r

2 sin x    sin x

Stąd na podstawie poprzedniego przykładu, otrzymujemy

im

2

*'² / ■ \²

| _{dx =}

J \ sin x /

6) Obliczyć całkę

ę _dx__

J ]/l — 2<xx+0i² y/1 — 2fix+(f²

gdzie 0<«, fl< 1.

Jeśli we wzorze [283, (6*)]

f-—-= —-— ln \ax+ — b-f Va t/ax^ljrbx + c ! 4- C

J j/ax² + bx+c    }/a I ²    I

dokonamy podstawienia

ax² + bx + c = (1— 2otx+ot²) (1 — 2px+P²) , to różniczkując stronami otrzymujemy

ax+ ~ = — ot (1 — 2f}x+p²) — p (1 -2xx+tx²) .

Stąd łatwo już można wywnioskować, że dla x = 1 wyrażenie stojące pod znakiem logarytmu przyjmuje wartość

— « (.i~P)²~P (1 — a)² + 2 ]/a/J (1 — a) (1 —/J) = - ty* (1 -p)- \/JV-a)]² =

- - ()/« - Vp)\i+ V«P)²,

a dla x = — 1 — wartość

-    - i/^)²(i- v^py .

W ten sposób dla szukanej całki otrzymujemy ostatecznie proste wyrażenie

l_ ln    .

y<xp i — |/«/S

zależne tylko od iloczynu <xP (‘)-

Zauważmy, że przy wyprowadzeniu wzoru podstawowego w rzeczywistości nie jest potrzebne założenie, że funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale domkniętym (a, by. Jak wy-

(²) Rozumowanie nasze jest poprawne jedynie dla <x¥=P, jednakże widać, że wynik jest słuszny rów nież dla a = p.