59842 MATEMATYKA142

274 V. Całka oznaczona

Ponieważ

}=2j^(tI-^|)d,=-|(x+2)vT^. więc

Rozważana całka niewłaściwa jest zatem zbieżna i równa 4/3,

b) Funkcja podcałkowa jest nieograniczona w prawostronnym sąsiedztwie S (0) punktu x = 0, Zatem zgodnie z (3.5)

i    i

Iln^:xdx= lim fln²xdx= limfxln²x-2xlnx+2xl' =

J    a-*(H

= lim (2-aln‘a+2alna-2a)=2_ł

a-*0*

ponieważ

1

Ina

lim alna= lim -~= lim - ^a--- lim a = 0.

a->0ł-    a- >0* I II _ 1    a->0-

.2

a

a'

1

. 2    2—Ina

lim aln^:a= lim = lim —=-2 lim alna=0.

o-Zm 1    11    _ i    a-*6*

a    a²

Rozważana całka niewłaściwa jest w ięc zbieżna i równa 2.

c) Rozważana całka jest całką niewłaściwą postaci (3.6), ponieważ funkcja podcałkowa jest nieograniczona w sąsiedztwach S(0) i S (n). Zatem

n    n/2    n

| ctgxdx = | ctgxdx + j ctgxdx.

o    o    K/2

Całka ta jest rozbieżna, ponieważ pierwsza z całek po prawej strome równości jest rozbieżna (zachowanie się pozostałej nic ma już wtedy znaczenia):

n/2    n/2

fclgxdx= lim f-^os-dx= lim lnsinxf ‘ =- lim lnsina = -K».    ®

i    a-*0- J SII1X a >f)>    ci-*0v

UZUPEŁNIENIA. 1 Jeśli O jest funkcją pierwotną funkcji f, ciągłej na przedziale <a,b). to wzór (3.4). po zastosowaniu twierdzenia

Newtona - Leibniza do całki Jf(x)dx, można zapisać w postaci:

a

b

J f(x)dx=d>( b-) - O(a),

a

(gdzie O(b-) oznacza lewostronną granicę funkcji w punkcie b).

W szczególności, gdy funkcja O jest ponadto lewostronnie ciągła w punkcie b, to ostami wzór przyjmuje postać (jak w przypadku "zwykłej" całki oznaczonej):

b

Jf(x)dx = cJ>(b)~<D(a). a

Podobne uwagi dotyczą całek niewłaściwych (3.5). (3.6), (3.7).

PRZYKŁAD 3.4 Weźmy pod uwagę całkę f-y ---. Jest to

^Jo V2x-x²

całka niewłaściwa postaci (3.6), ponieważ funkcja podcałkowa jest nieograniczona w sąsiedztwach S⁺(0)iS~(2) oraz jest całkowalna w każdym przedziale «x.p>c(0,2), gdzie 0<a<p<2 Funkcja pierwotna d>(x)= arcsin(x-l) funkcji podcałkowej jest ciągła na przedziale <0,2>. Zateni

" dx

U Vzx-x

2 Weźmy pod uwagę całki niewłaściwe

J -t—-—- arcsin(x-1)|“ = arcsinl -arcsin(-l)=n. i V2x-x²

OO    r)0

(a) Jf(x)dx, (b) Jjf(x)|dx

a    a

Dowodzi się, źc ze zbieżności całki (b) wynika zbieżność całki (a), ale me odwTotnic. Stąd wynika, że możliwe są jedyne następujące sytuacje: I) całki (a) i (b) są rozbieżne. 2) całki (a) i (b) są zbieżne. 3) caika (a) jest