MATEMATYKA129

24K V. Całka oznaczana

PRZYKŁAD INTERPRETACJI FIZYCZNEJ Ograniczymy się do podania jednej z wiciu interpretacji fizycznych całki oznaczonej -obliczymy drogę s przebytą w przedziale czasu <t_()łT> przez punki materialny ruchem po prostej z prędkością, której wartość bezwzględna (długość wektora prędkości) w chwili t wynosi v = v(t).

Jeśli ruch jest jednostajny, czyli v = const, to s = v (T-1₀)

Gdy ruch jest zmienny, to nic możemy stosować ostatniego wzoru dla całego przedziału < t₀,T> W tym przypadku drogę s określamy za pomocą znanego już schematu prowadzącego w rezultacie do całki oznaczonej. Zakładamy, że v - v(t) jest funkcją ciągłą.

Przedział < t₀,T> dzielimy na przedziały częściowe < t,_,, t, > o długościach At₍, i = 1,2,...,n, i maksymalnej długości 6₀. W każdym z tych przedziałów obieramy dowolną chwilę t_i i tworzymy iloczyny v(t₁)At_i oraz sumę S_n wszystkich n tych iloczynów:

S„ = £v(t,)At,.

1=1

Gdyby prędkość v(t) zachowywała wartość v(t,) w całym przedziale ^<t|__lłt_l >, to iloczyn y^JAt, byłby faktycznie przebytą drogą w tym przedziale. W rzeczywistości tak nie musi być, bo prędkość v(t) w różny ch punktach przedziału < t,_,, t, > może przyjmować różne wartości. Jednakże wobec ciągłości funkcji v(t), tc różne wartości różnią się między sobą, a więc i od wartości v(t,) tym mniej, im przedział <t, ,,ti> jest mniejszy', czyli At, mniejsze. Wobec tego suma S_n jest przybliżeniem drogi: S„ «= s Przybliżenie to jest tym lepsze, im podział przedziału <t₀,T> jest drobniejszy (o ile zachowujemy punkty realizujące wcześniejsze podziały).

Rozważmy granicę

n

lim S_n = lim 2] v(t,)At. i«i

przy n -> oo i jednocześnie 5_n -* 0. Wobec założonej ciągłości funkcji v(t), granica ta istnieje i ma tę samą wartość przy każdym normalnym ciągu podziałów i każdym wyborze punktów pośrednich t, w przedziałach częściowych. Granicę tę przyjmujemy jako drogę s przebyty w tym ruchu w przedziale < t₀,T >:

dd J*

(1.5)    s- lim Vv(L)At,.

Prawa strona (1.5), jako granica ciągu sum całkowych ciągłej funkcji v(t) na przedziale <t₀,T>, jest całką oznaczoną lej funkcji na

T

tym przedziale: Jv(t)dt. Zatem

*0

T

(1.6)    s = Jv(t)dt_T

czyli: drogo s przebyła w przedziale czasu <t₀,T> ruchem prostoliniowym z prędkością (co do modułu) v(t). jest całką oznaczoną z lej prędkości na tym przedziale. Albo krócej: droga jest całką z prędkości.

PRZYKŁAD 1.3 Ciało zostało wyrzucone w górę z prędkością v(t) = (15 - 3t) m/s. Obliczymy osiągniętą wysokość h.

Wysokość największa h zostanie osiągnięta w tej chwili t, w której v(t)~0, czyli dla t = T~5s. Zatem, (korzystając np. z interpretacji geometrycznej całki oznaczonej), mamy

* 1

h = J(15—3t)dl =~5'l5=37,5m.    ■

0

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

ł. a) Uzupełnić zdanie: jeśli ftinkcja f nic jest całkowalna na przedziale < a,b >, to wśród ciągów sum całkowych funkcji f istnieje co najmniej jeden, który jest ... lub co najmniej dwa ciągi zbieżne do ... granic.

b) Wykazać, że funkcja

^f<^x>={-'

dla wymiernych \ e< n,b> dla nicwyiniemychxe<«,b>

nic jest całkowalna w przedziale < a,b >