142(1)

Dana całka niewłaściwa jest więc całką zbieżną.

b

W układzie współrzędnych prostokątnych każda całka oznaczona J f(x)dx

a

przedstawia sumę algebraiczną pól, ograniczonych krzywą y—f(.x), dwiema prostymi pionowymi x = a, x = b i osią Ox. Jeśii więc narysujemy krzywą y = e~^x i zaznaczymy jej rzędne w punktach o odciętych x = 0 i x = j5 (rys. 134), to otrzymamy trapez krzywoliniowy O A Bp o polu równym

P

S(fi) = f e~^xdx = 1 — e^-JJ o

Gdy /9->+oo» tj. przy przejściu granicznym, otrzymamy trapez o nieograniczonej podstawie, lecz o skończony m polu S(+co) = lim S(fi) = 1.

p—► -j- 00

-f lim[arc tgA']S = — arctg(— co)+arotg(+ co) =

/ ⁿ\ . ⁿ

Geometrycznie (rys. 135) całka funkcji f(x)    , wzięta w granicach

od a do fi, przedstawia pole trapezu krzywoliniowego aABfi, natomiast dana całka niewłaściwa zbieżna przedstawia pole nieskończonego trapezu krzywoliniowego, rozciągającego się nieograniczenie na lewo i na prawo, a przy tym mającego skończone pole równe n.

3) W tym przypadku dla x = O funkcja podcałkowa ~ ma nieciągłość nieograniczoną. W myśl wzoru (4)

I    j -^ = ^Iim[liw]‘ = lim(bl-lne) = -lnO =+oo

o    <

czyli całka niewłaściwa jest rozbieżna.

Geomeirycznie wynik ten oznacza, że pole trapezu krzywoliniowego eABb (rys. 136)

*«- / *—»■

e

przy e +0 rośnie nieograniczenie.

4) Tu funkcja podcałkowa ma nieciągłość nieograniczoną w punkcie ^x = 1> leżącym wewnątrz przedziału całkowania [-1,2]. Dlatego, w myśl wzoru (4)

vm?⁺

² *

Y(x-iy

+ lim    f i_r- ^dX    = lim 3 [Yx—ljLl“ +

«2-+o J Y(x~l)¹

i+« ^r v '

+lim 3 [} x— 1 ]i_+e, = 3 lim (j/ — £j—Y—2) + + 3 Urn (YT—Yeż) = 3 [Y2 +1)

+ co    o

/ wt-j; ?„/-*

dx

P

Jij i I

-f-i P-t+to-J

dx

x?+l

-- - lim[arctgx]S+

287

1

Korzystając ze wzoru (3), otrzymamy