0114

116

IX. Całka oznaczona

Uwaga. Zwróćmy uwagę na ważną właściwość wzoru (9). Przy obliczaniu całki nieoznaczonej za pomocą zamiany zmiennej, szukaną funkcję otrzymaliśmy jako funkcję zmiennej t i musieliśmy następnie powracać do pierwotnej zmiennej x. Natomiast przy obliczaniu całki oznaczonej za pomocą zamiany zmiennej nie potrzeba powracać do starej zmiennej. Jeśli bowiem obliczymy drugą z całek (9), która jest oczywiście liczbą, to tym samym znajdziemy i pierwszą.

314. Przykłady

1) Całkę    a²—x²dx obliczymy za pomocą podstawienia x = o sin/; rolę liczb a i ji odgrywają

o

tu 0 i -i- rr. Mamy

[porównaj 268].

2) Niech » będzie liczbą naturalną. Za pomocą tego samego podstawienia otrzymujemy

_|J<+1 2wl! (2n+l)!!

o

o

[patrz (8)], i analogicznie

| (o²—x²)^t2‘~^,,,2dx = a²'    • —

I    2n\\    2

3) Wyznaczyć całkę

4) Rozpatrzmy całkę

I

O

Podstawienie x *= tc—t (gdzie t zmienia się od n do 0) prowadzi do równości

i

o

l+cos²*

n

x sin x

(n-t)sint _df 1+cos²/

o