0122

124

IX. Całka oznaczona

a stąd wreszcie

*(*) = i7t lim (I+*,)(!■+*₂) ...(l+*„).

n-*oo

Na ostatniej równości opiera się metoda przybliżonego obliczania całki K (k), w której przyjmuje się po prostu dla dostatecznie dużego n, że

K(k) * |w(l+*,)(l+*₁) ...(!+*„).

316. Inne wyprowadzenie wzoru na zamianę zmiennej. Podamy teraz inny dowód wzoru (9) przy zmienionych założeniach.

Przede wszystkim (i to jest najważniejsze) nie będziemy zakładali, że funkcja f(x) jest ciągła, ale tylko, że jest całkowalna. Natomiast o funkcji q> (t) założymy, że jeśli t zmienia się od a do fi, to funkcja ta zmienia się monotonicznie od wartości a = q> (a) do wartości b = <p (fi).

Dowód przeprowadzimy w przypadku a < b i a < /?, a więc gdy funkcja <p(t) jest monotonicznie rosnąca (w pozostałych przypadkach dowód jest analogiczny).

Rozbijamy przedział <a, /?> w dowolny sposób na podprzedziały za pomocą punktów

t₀ - a < ti < t₂ < ... < f| < t_ł+1 < ... < t_n = 0 ; jeśli wprowadzimy oznaczenie x, = ę>(fi+t) 0 = 0,1,2,... ,n), to jednocześnie będzie x₀ = a < Xi < x₂ < ... < x_t < x_l+l < ... < x_n = b

Jeśli największa z długości At_t = f₍+i — t_t podprzedziałów (oznaczamy ją przez X) dąży do zera, to z (jednostajnej) ciągłości funkcji x = <p(t) wynika, że także dąży do zera największa z długości Ax_t = x_t+i—x_t = <p (f|+i)—<p(t,) [patrz 87].

Z każdego przedziału (t,, /,+i) wybieramy teraz dowolną liczbę r, i znajdujemy sumę całkową dla drugiej z całek (9)

<r = $]/(9»(*i))9^J'(Ti)4T|.

<

Niech i_t — <p (t,), a więc x_t <    < x_t+_t. Z wzoru na przyrost skończony dla funkcji

<P (t) w przedziale (t,, t_l+l) mamy

Ax, = x_l+1-x, = <p(t_l+l)-f(t,) = f'(Tf)df, ,

przy czym f, < rf < r₍₊₁. Liczba zf (nieznana) jest na ogół różna od przypadkowo wybranej wartości z,. Sumie całkowej a* = £/(£,)Ax_t, odpowiadającej pierwszej z całek

<

(9), możemy teraz nadać postać

a* = ^]/(ę>(T,))9/(f?Mf,.

tp

Granicą tej sumy przy A -» 0 jest oczywiście całka J/(at) dx. Aby udowodnić, że całka

a

ta jest również granicą sumy a, wystarczy wykazać, że różnica a—a* dąży do zera.