0112

114

IX. Całka oznaczona

W analogiczny sposób sprawdza się pozostałe wzory. 3) Znaleźć całki

n/2    n/2

K. = J cos"xsinnxdx, L_n = J cos"x cosnx «/*.

o    o

Całkując przez części mamy

i    7²

Aj, ---| cos^ll“^I.v sin jc cos tix dx.

" o

Jeśli do obu stron ostatniej równości dodamy K_n, a następnie przekształcimy odpowiednio wyrażenie trygonometryczne pod całką z prawej strony, to łatwo otrzymujemy

lub

2A» = -i-n

*--ł(7^+,r~)'

Z tego wzoru redukcyjnego łatwo już znajdujemy

Analogicznie 4) Znaleźć całkę

L, =

2"+‘

H_k,„ = J ln^mjr </* ,

gdzie A: >0, a m — liczba naturalna.

Całkowanie przez części [porównaj 271, 5)]

x^k ln”.r dx =

1

A-+1

- jc* *■¹ ln”jc

J x^k ln"'¹

~^lx dx

prowadzi do wzoru redukcyjnego

A + l

1 »

skąd otrzymuje się

w!

(k+l)^m+^l '

Osobliwością tego przykładu jest to, że w punkcie x = 0 zarówno wartość funkcji podcałkowej, jak i wartość otrzymanej przez całkowanie funkcji, w której dokonujemy podstawienia, określona jest jako granica dla 0.

5) W myśl wzoru (III) z ustępu 280 (przyjmując, żep i q są liczbami naturalnymi) mamy

| (1 -xYx?dx =

(1 —x)^px^,¥l

P+q+l

p+g+1

co przy przejściu do całek oznaczonych w przedziale od 0 do 1 daje

[ (\ — x)”x^,dx o

p

p+g+1

[ (1 — 0