0110
112
IX. Całka oznaczona
napisać analogiczny wzór dla całek oznaczonych
(5) J f(x) dx = <p (x)|* - J g (x) dx.
a a
Zakładamy przy tym zawsze, że funkcje f i g są ciągłe.
Aby udowodnić wzór (5). oznaczamy ostatnią całkę we wzorze (4) przez 0 (x). Wtedy Jf(x)dx = O(x)-0(x)]|!; = ęi(x)|a -0(x)|;.
a
Ponieważ jednocześnie jest
j g(x)dx = 0 (x)|®,
a
więc otrzymujemy w ten sposób szukany wzór.
W szczególności wzór na całkowanie przez części przyjmie teraz postać
ł> b
(6) j u dv = utf|a— J v du ,
a
a uogólniony wzór na całkowanie przez części ma postać
b
(7) J uv,n+l>dx = [uv<n> — u'v<n-l>+ ... +( —1)" n(">u]|a+(-l)"+1 J uin+uv dx ;
a
zakładamy przy tym, jak poprzednio, że funkcje u i v oraz wszystkie występujące tu ich pochodne są ciągłe.
Wzór (5), ustalający związek między liczbami, jest w swej zasadzie prostszy od wzoru (4), który jest warunkiem dla funkcji, jest on szczególnie wygodny w przypadku, kiedy podwójne podstawienie daje zero.
312. Przykłady 1) Obliczyć całki
Jm = J sin”jr dx, Jm = j cosmx dx o o
(gdzie m jest liczbą naturalną).
Całkując przez części znajdujemy
"71 2 n/i
Jm = J sin1"-1^ d(—cosx) = —sinm_1xcosx 1 +(m—1) j sin1"-2*cosrxdx. o 0 o
Wykonując podstawienie w pierwszym składniku ostatniej sumy otrzymujemy zero. Zastępując następnie cos2x przez 1 —sin2jr otrzymujemy
Jm — (m— \ )J„,
a stąd wynika już następujący wzór redukcyjny:
J,
m—l
Jm-2 ,
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
106 IX. Całka oznaczona 308. Podstawowy wzór rachunku całkowego. Widzieliśmy już w ustępie 305, że d
88 IX. Całka oznaczona Dla pierwszej sumy, podobnie jak w poprzednim twierdzeniu, mamy < e(b-a).
96 IX. Całka oznaczona więc analogicznie w przedziale <at, bf> możemy znaleźć podprzedział
114 IX. Całka oznaczona W analogiczny sposób sprawdza się pozostałe wzory. 3) Znaleźć całki n/2
126 IX. Całka oznaczona To jest właśnie wzór Wallisa. Ma on znaczenie historyczne, jest to bowiem pi
136 IX. Całka oznaczona i analogicznie (8) b—a 6 W ten sposób dochodzimy wreszcie do wzoru
82 IX. Całka oznaczona W każdym z odcinków <*,, x,+i> wybierzmy dowolny punkt x = Ę, (l): X
84 IX. Całka oznaczona Sumy Darboux mają następujące, proste własności: Własność 1. Jeśli do
86 IX. Całka oznaczona e > 0 można znaleźć taką liczbę ó > 0, że skoro tylko X < 5 (tzn. je
90 IX. Całka oznaczona Łatwo zauważyć że nie wywoła to zmiany wartości samej całki. Wynika to stąd,
92 IX. Całka oznaczona Przyjmijmy teraz i _ « 2m Q ’ gdzie 12 oznacza oscylację
94 IX. Całka oznaczona 303. Własności całek wyrażające się równościami. Podamy dalsze własności
98 IX. Całka oznaczona 10“ Uogólnione twierdzenie o wartości średniej. Zakładamy, że 1) funkcje /(x)
100 IX. Całka oznaczona Ciągłość funkcji fU) w punkcie t — x oznacza, że do każdej liczby e > 0 m
102 IX. Całka oznaczona — jak to widać z założeń o funkcji /(x) są nieujemne, więc zastępując
104 IX. Całka oznaczona Podstawiąjąc wartości funkcji w lewych końcach przedziałów, otrzymujemy
108 IX. Całka oznaczona Ponieważ poszczególne składniki łatwo jest scałkować według wzoru (A), mamy
110 IX. Całka oznaczona wyjdziemy z formalnie obliczonej funkcji pierwotnej —— arc tg 3x(x2—1)
116 IX. Całka oznaczona Uwaga. Zwróćmy uwagę na ważną właściwość wzoru (9). Przy obliczaniu całki
więcej podobnych podstron