0100

102

IX. Całka oznaczona

— jak to widać z założeń o funkcji /(x) są nieujemne, więc zastępując wartości funkcji G przez mi M otrzymujemy dwie liczby

mf{a) i M/(a),

między kiórymi jest zawarta suma a. Również całka I — jako granica sumy a — leży między tymi liczbami; znaczy to, że

I = Vf(“),

gdzie m < p < M. Z ciągłości funkcji G (x) wynika dalej, że w przedziale (a, bj można znaleźć takie f, że p = G (f) [82]. Wtedy jest

J=/(a)G(|),

co jest równoważne z wzorem (3).

Analogicznie, jeśli funkcja f (x) jest monotonicznie rosnąca i nieujemna, to zachodzi wzór

J/(*) 9 (*) dx = f{b) J g (x) dx ,

a    f

gdzie a < f < b. Oba te wzory nazywają się wzorami Bonneta. Wreszcie

14° Jeśli zachować jedynie założenie monotoniczności funkcji f(x) nie żądając, żeby była ona nieujemna, to prawdziwy jest wzór

(4)    J f(x) g (x) dx = f(a) j g (x) dx+f(b) j g (x) dx ,

a    a    i

gdzie a < f < ó.

Rzeczywiście, jeśli na przykład funkcja /(x) jest monotonicznie malejąca, to oczywiście różnica f(x)—f(b) jest dodatnia i wystarczy teraz zastosować do tej nowej funkcji wzór (3), żeby po prostych przekształceniach dojść do wzoru (4).

Udowodnione przed chwilą twierdzenie nosi nazwę drugiego twierdzenia o wartości średniej [porównaj 304, 10°].

Następująca prosta uwaga pozwala nadać temu twierdzeniu nieco ogólniejszą postać. Jeśli zmienić wartości funkcji /(x) w punktach a i b, biorąc zamiast f(a) if (b) dowolne liczby A i B spełniające jedynie warunek

A &>f(a+0)    i    B </(ó-0) , jeśli / jest malejąca,

A </(a+0)    i    B ^f(b-O),    jeśli / jest rosnąca,

to oczywiście wartość całki / się nie zmieni, a ponadto zostanie zachowana monotonicz-ność funkcji /(x). Zatem podobnie do wzoru (4) możemy napisać

»    Sb

f f(x) g (x) dx = A f g (x) dx + B J g (x) dx .

(5)