0130

0130



132


IX. Całka oznaczona


Zwracamy uwagę na szczególne przypadki tych wzorów, kiedy k ^ k’ = 2:


(13')


/ qnpdx <    V>V.v


04’;


/ {<P+vYdx < "yj/ <p2dx+ j/J' y>2dx.


Pierwsza z nich jest nierównością Buniakowskiego. Drugą łatwo otrzymuje się z niej przez podniesienie stronami do kwadratu.

2) Rozpatrzymy jeszcze nierówność Jensena [144 (12*)]:


(15)



o funkcji f(x) zakładamy tu, że jest ona wypukła w pewnym przedziale % w którym leżą punkty x,, ap, są liczbami dodatnimi. Przypuśćmy, że funkcja <p (jc) jest określona w pewnym przedziale <a, 6> i jej wartości leżą w przedziale 9f, a funkcja p{x) jest dodatnia i również określona w przedziale <a, 6). Niech teraz x, oznaczają punkty podziału tego odcinka. Dawne x, we wzorze (15) zastąpimy przez <p(x,), a pt przez p(jr,)/4jr,. Przechodząc następnie, tak jak wyżej, od sum całkowych do całek, otrzymamy całkową nierówność Jensena:


( PW <p(x)dx


f


( p(x) dx


«


J PWf(<p(x)) dx

< -i-;-

/ p(jf) rfjf


§ 5. Przybliżone obliczanie całek oznaczonych

322. Postawienie zadania. Metoda prostokątów i metoda trapezów. Przypuśćmy, że mamy znaleźć »

całkę J' f(x) dx, gdzie/(jt) jest pewną funkcją ciągłą określoną w przedziale <a, ó>. W § 3 podaliśmy wiele «

przykładów obliczania takich całek albo za pomocą funkcji pierwotnej, jeśli można ją było przedstawić w postaci skończonej, albo też — omijając funkcje pierwotne — za pomocą różnych chwytów, najczęściej dość sztucznych. Zauważmy jednak, że wszystkie te metody dadzą się zastosować jedynie do dość wąskiej klasy całek; poza tą klasą musimy się uciekać do metod rachunku przybliżonego.

Obecnie poznamy najprostsze z metod, w których wzory przybliżone na całkę wykorzystują pewną liczbę wartości funkcji podcałkowej, obliczanych dla pewnych wartości (zazwyczaj równoodległych) zmiennej niezależnej.

Pierwsze spośród takich wzorów otrzymuje się najprościej z rozważań geometrycznych. Traktując »

całkę oznaczoną J f(x) dx jako pole pewnej figury geometrycznej ograniczonej krzywą f(x) [294], postawi-

m

my sobie za zadanie znalezienie tego pola.

Przede wszystkim zastosujemy powtórnie tę samą myśl, która doprowadziła nas do pojęcia całki oznaczonej. Rozbijemy mianowicie całą figurę (rys. 6) na paski równej szerokości Ax, = (*), a na-

(’) Zachowujemy tu oznaczenia z ustępu 294.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
•    Perfekcjonista - zwraca uwagę na szczegóły, jest bardzo dokładny i
116 IX. Całka oznaczona Uwaga. Zwróćmy uwagę na ważną właściwość wzoru (9). Przy obliczaniu całki
humor10 ZWRACAJ UWAGĘ NA KĄPIĄCYCH SIĘ A SZCZEGÓLNIE NA DZIECI
124 IX. Całka oznaczona a stąd wreszcie *(*) = i7t lim (I+*,)(!■+*2) ...(l+*„). n-*oo Na ostatniej
130 IX. Całka oznaczona Na zakończenie, korzystając z własności wielomianów Legendre a, wyprowadzimy
ident0003 zwracać uwagę na maść źrebięcia na głowie, szyi i pośladkach. kasztanowata (kaszt.) -
0000097 (4) biologicznego zwracaliśmy uwagę na pogrubienie beleczkowania, uogólnioną sklerotyzację o
2014-03-04Przesłanki wczesnej interwencji Dokument zwraca uwagę na przesłanki przemawiające za jak
6)    odizolować końce przewodów, zwracając uwagę na odpowiednią długość
Picture8 (10) k)pbi? Litery pisane alfabetu rosyjskiego Wf U/f cp 7? (znak twardy) ? Przepisz liter
Jasiński Motywowanie w przedsiębiorstwie (5) rezultaty Podkreśla motywacyjne znaczenie udziału prac

więcej podobnych podstron