0130

132

IX. Całka oznaczona

Zwracamy uwagę na szczególne przypadki tych wzorów, kiedy k ^ k’ = 2:

(13')

/ qnpdx <    V>V.v

04’;

/ {<P+vYdx < "yj/ <p²dx+ j/J' y>²dx.

Pierwsza z nich jest nierównością Buniakowskiego. Drugą łatwo otrzymuje się z niej przez podniesienie stronami do kwadratu.

2) Rozpatrzymy jeszcze nierówność Jensena [144 (12*)]:

(15)

o funkcji f(x) zakładamy tu, że jest ona wypukła w pewnym przedziale % w którym leżą punkty x,, ap, są liczbami dodatnimi. Przypuśćmy, że funkcja <p (jc) jest określona w pewnym przedziale <a, 6> i jej wartości leżą w przedziale 9f, a funkcja p{x) jest dodatnia i również określona w przedziale <a, 6). Niech teraz x, oznaczają punkty podziału tego odcinka. Dawne x, we wzorze (15) zastąpimy przez <p(x,), a p_t przez p(jr,)/4jr,. Przechodząc następnie, tak jak wyżej, od sum całkowych do całek, otrzymamy całkową nierówność Jensena:

( PW <p(x)dx

f

( p(x) dx

«

J PWf(<p(x)) dx

< -i-;-

/ p(jf) rfjf

§ 5. Przybliżone obliczanie całek oznaczonych

322. Postawienie zadania. Metoda prostokątów i metoda trapezów. Przypuśćmy, że mamy znaleźć »

całkę J' f(x) dx, gdzie/(jt) jest pewną funkcją ciągłą określoną w przedziale <a, ó>. W § 3 podaliśmy wiele «

przykładów obliczania takich całek albo za pomocą funkcji pierwotnej, jeśli można ją było przedstawić w postaci skończonej, albo też — omijając funkcje pierwotne — za pomocą różnych chwytów, najczęściej dość sztucznych. Zauważmy jednak, że wszystkie te metody dadzą się zastosować jedynie do dość wąskiej klasy całek; poza tą klasą musimy się uciekać do metod rachunku przybliżonego.

Obecnie poznamy najprostsze z metod, w których wzory przybliżone na całkę wykorzystują pewną liczbę wartości funkcji podcałkowej, obliczanych dla pewnych wartości (zazwyczaj równoodległych) zmiennej niezależnej.

Pierwsze spośród takich wzorów otrzymuje się najprościej z rozważań geometrycznych. Traktując »

całkę oznaczoną J f(x) dx jako pole pewnej figury geometrycznej ograniczonej krzywą f(x) [294], postawi-

m

my sobie za zadanie znalezienie tego pola.

Przede wszystkim zastosujemy powtórnie tę samą myśl, która doprowadziła nas do pojęcia całki oznaczonej. Rozbijemy mianowicie całą figurę (rys. 6) na paski równej szerokości Ax, = ——— (*), a na-

(’) Zachowujemy tu oznaczenia z ustępu 294.