0128

130

IX. Całka oznaczona

Na zakończenie, korzystając z własności wielomianów Legendre'a, wyprowadzimy wzory redukcyjne wiążące trzy kolejne takie wielomiany.

Zauważamy na wstępie, że wielomian jt" można wyrazić w postaci funkcji liniowej jednorodnej zmiennych P₀, Pi,-.., P„ o stałych współczynnikach; jest to również prawdą dla dowolnego wielomianu stopnia n. Dlatego też

xP_n = a₀ P,i+i +fli P„-ta₂ Pn-1+03 Pn-2-ł*    ,

gdzie f/₀, Oi, a₂, a₃,... są współczynnikami stałymi. Łatwo jest sprawdzić, że a₃ = n« = ... «= 0. Na przykład, aby obliczyć a₃ mnożymy obie strony tej równości przez P„-₂ i całkujemy od — 1 do 1:

1    1111

f P„ x P„-₂ dx = flo J P„+i Pn-i dx+a, J P„ P_n—2 dx+a₂ j P„-₂ P„-₂ dx+a₃ J P^idx+ ...

-‘1    -1    -1    -1    -1

W myśl (8) i (9) wszystkie całki z wyjątkiem jednej są zerami i wobec tego otrzymujemy

1

J P,-i dx = 0 , skąd a₃ = 0 .

Współczynnik n, jest także równy zeru, gdyż po lewej stronie równości w ogóle nie występuje wyraz z at". Aby wyznaczyć współczynnik a₀ porównujemy współczynniki przy x"^f 1 po obu stronach równości

U»-W=_ao    skąd «₀=JJ±L.

ni    («+!)!    2w+l

Wreszcie, aby wyznaczyć współczynnik a₂, porównujemy wartości obu stron równości dla jc =*> 1:

2n+ I

1 = Oo + «2 , a więc a₂ = I — «₀ =

Podstawiając znalezione wartości współczynników, otrzymujemy ostatecznie (11)    (»+ I) P_n+i — (2«-f 1) xP„+iiP_h-i - 0.

Jest to właśnie szukany wzór redukcyjny, który umożliwia znajdowanie kolejno wielomianów Legendre’a wychodząc z P₀ = 1 i Pi — .v:

3at²—1    „    5at³ — 3a-    _d 35at⁴ — 30.v^J + 3

2 ’ ^P'⁼-8-

321. Nierówności całkowe. W ustępach 133 i 144 wyprowadziliśmy kilka nierówności dla sum. Pokażemy teraz, w jaki sposób podobne nierówności można otrzymać dla całek. Wszystkie występujące tu funkcje p(x), <p(x) i y>(x) są z założenia całkowalne (‘).

I) W ustępie 133 mieliśmy nierówność (4), którą można napisać w postaci

(12)

exp

In

<

Y,^Ptai

S" '

Rozpatrzmy teraz dwie funkcje p(x) i qix) dodatnie, określone w przedziale <a, by. Rozbijmy punktami

A‘₀ = a < A‘, < ... < A-j < At_l+1 < ... < x_n = h

(■) Z tego założenia wynika już całkowalność i innych napotykanych tu funkcji: dla uzasadnienia tego wystarczy się powołać na ustępy 299, 11 i 300, 4).