0136

138

IX. Całka oznaczona

gdzie fi oznacza pewną liczbę zawartą między m i M. W myśl znanej własności funkcji ciągłej [82] w przedziale <o, by znajdziemy taki punkt £¹, że fi = /"(£¹), a więc

(12)    e = ⁽¹~^a)1/"(²) ■

24

Uwaga. Byłoby rzeczą naturalną, gdybyśmy rozwinięcie funkcji /(.y) względem potęg dwumianu przerwali już na pierwszej potędze, tzn.,użyli wzoru

/to =    + (¹- -^£y^-)/'(D .

Po scałkowaniu prowadziłoby to do równości

f7to dx =    + f/W (.y-dc,

a    a

a więc w tym przypadku błąd wyraziłby się całką

e = f fW ^-Y    ^dx -

«

w której występuje tylko pierwsza pochodna /'(¹)• Jednakże tu drugi czynnik wyrażenia podcałkowego nie ma stałego znaku w przedziale <a, 6>, a więc zastosowanie w celu uproszczenia wyrażenia na q uogólnionego twierdzenia o wartości średniej okazuje się w tym przypadku niemożliwe. Sukces zapewniło nam przedłużenie rozwinięcia Taylora o jeszcze jeden wyraz w połączeniu z równością (11).

Jeśli teraz przedział <<?, 6> podzielimy na n równych części, to dla każdego podprzedziału <¹,, x₁₊₁> będziemy mieli wzór dokładny

f f(x) dx =    /(x_i+WJ)+    (x, < f? < ¹,+,).

•'    «    24n⁹

^xi

Dodając te równości (/ — O, 1,    //— 1) stronami otrzymujemy przy zwykłych skróconych ozna

czeniach

* .

I f W dx = -“ 0¹1/2+>3/¹ +    »

gdzie wyrażenie

_R -    /"<&+/"«?>+ - +r(Ci)

24«²    n

jest błędem wzoru prostokątów (1). Ponieważ liczba

/"«!)+ ... +r«?-.)

n

leży między m i M, więc funkcja /"to przyjmuje tę wartość w pewnym punkcie przedziału <a, ó>.

Mamy zatem w końcu

(13)    /?„ -    f"($) (a < 4 < b).

24 n

Reszta ta maleje ze wzrostem n mniej więcej jak l/«² (^l).

1

Mówimy „mniej więcej”, gdyż przy zmianie n może się zmienić również f. Należy o tym pamiętać

2

w dalszym ciągu.