6837093809

Zwróćmy uwagę na wartości przypisywane zmiennym mini, maxi, min2 oraz max2 przed wykonaniem każdego przesiewu. W czasie pierwszego wywołania funkcji szukaj musimy sprawdzić liczy od 1 do 100. Odrzucamy jednak liczbę 1 (bo ma tylko jeden dzielnik) i początkowe liczby pierwsze (2,3,5,7). Pomijamy także liczbę 100 (bo jest parzysta). Przeszukiwanie zaczynamy od liczby 9 (najbliższej nieparzystej po 7). Nie sprawdzamy także pozostałych parzystych, więc w istocie musimy wykonać działania na następującej ilości liczb: (99-9) / 2 = 45. W drugim przesiewie przeszukujemy liczby od 101 do 9999 (pomijamy 100 i 10000 bo są parzyste). Po odliczeniu pozostałych liczb parzystych z tego zakresu pozostaje nam: (9999-101) / 2 = 4949. Analogicznie obliczamy ilość koniecznych powtórzeń pętli dla pozostałych zakresów. Trzeba tu jednak zwrócić uwagę na rozbicie obliczonych wartości na dwie zmienne dla zakresu od 100000001 do 10¹⁶-1. Jest to konieczne, ponieważ, jak już wyżej zostało to wspomniane, liczba 10^l6-l wykracza poza zakres zmiennej. Oczywiście podane przeze mnie wartości są tylko jedną z wielu możliwości. Można je zastąpić dowolnymi liczbami mieszczącymi się w zakresie zmiennych, których iloczyn wyniesie tyle, ile ilość koniecznych powtórzeń, jaką obliczymy dla zakresu do 10¹⁶ według podanego wyżej schematu.

Kolejne zakresy i problemy z nimi związane

Wykonanie przesiewu dla następnego zakresu - czyli dla liczb do 10³² - wiąże się z koniecznością rozwiązania nowych problemów. Pierwszym jest zapisanie, wykraczających poza zakresy zmiennych, liczb uzyskanych wcześniej. Można zastosować tablice wielowymiarową, gdzie każdy wiersz zawiera jedną liczbę rozbitą na fragmenty. Powstaje jednak problem wykonywania obliczeń przy pomocy tych liczb. Rozważyć należy zatem zapis uzyskanych wcześniej liczb pierwszych w postaci sumy iloczynów. Każdą liczbę pierwszą można przedstawić jako sumę wielokrotność liczb uzyskanych wcześniej. Następnie obliczenia dla wyższych zakresów wykonywać można, wykorzystując właściwości działań na liczbach. Inną metodą może być wykorzystanie hipotezy Goldbacha, zgodnie z którą każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.¹ Zakładając jej prawdziwość dochodzimy do prostego wniosku, że każda liczba nieparzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych pomniejszoną o jeden. Tak więc można spróbować przedstawić odnalezione liczby pierwsze właśnie w takiej postaci. Nadal jednak nie mamy prostej metody wykonywania dalszych obliczeń i nade wszystko musimy pamiętać, że hipoteza ta nie została do dnia dzisiejszego jednoznacznie rozstrzygnięta, choć większość współczesnych matematyków uważa, że jest ona prawdziwa.^{2 3} Niezależnie od tego jaki sposób zapisu i wykonywania obliczeń na odnalezionych liczbach pierwszych wybierzemy, konieczne będzie znaczne rozbudowanie algorytmu sprawdzającego liczby z kolejnych zakresów. Spowoduje to wydłużenie czasu sprawdzania, który, choć początkowo tak krótki, że, bez zatrzymania pracy programu po wyświetleniu każdej partii informacji, nie jest możliwe wychwycenie poszczególnych liczb, po wejściu do zakresu 10⁸ - 10¹⁶ zwiększa się do kilku (a w miarę zbliżania się do końca zakresu nawet kilkudziesięciu) sekund na odnalezienie jednej liczby. Problemem, oprócz formy zapisu liczb, jest też miejsce na ich zapis. Ilość liczb pierwszych jakie zostaną odnalezione z zakresu do 10¹⁶ jest tak duża, że należy zastanowić się nad ich zapisem poza programem (na przykład w zewnętrznym pliku).

Kłopotów związanych z przesiewem kolejnych zakresów jest znacznie więcej. Prawdopodobnie wiele nowych ujawni się w czasie pracy nad rozwiązaniem tych, które jesteśmy w stanie przewidzieć.

Definicja hipotezy Goldbacha na podstawie strony internetowej http://www.wikipedia.org.

Do tej pory udało się jedynie wykazać, że hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla liczb naturalnych mniejszych

niż 4 x 10¹⁴ - informacje na podstawie strony internetowej http://www.wikipedia.org.