0126

128

IX. Całka oznaczona

Przejdźmy do rozpatrzenia drugiej sumy z równości (2). W przedziale <0, m>, mamy oczywiście 1/W| <

(P-Dl

(P- D! ’

a stąd wynika nierówność

Jeśli teraz sumą |r₀| + |ci|-l-...-Hc_lJ oznaczymy przez C, to

(P-D!

IŻ^e' .r/w-H < ^CemJ^r - ^w!3r'

Wiemy jednak [3S, 1)], że ostatni czynnik dąży do 0, gdy p dąży do nieskończoności, a więc wartość bezwzględna drugiej sumy z wzoru (2) jest przy dostatecznie dużymp mniejsza od pierwszej sumy. W takim razie suma ich nie może być równa 0 i w ten sposób otrzymaliśmy sprzeczność.

320. Wielomiany Legendre’a. Postawmy sobie za zadanie znaleźć taki wielomian X,(x) stopnia n, żeby dla dowolnego wielomianu Q (x) stopnia niższego od n zachodziła równość

(3)    / X.(x) Q(x)dx = 0,

«

gdzie a i b są liczbami dowolnymi, ale ustalonymi.

Każdy wielomian X,(x) stopnia n można rozpatrywać jako pochodną rzędu n pewnego wielomianu R (x) stopnia In, który powstąje z wielomianu X,(x) przez n-krotne kolejne całkowanie. Jeśli przy każdym całkowaniu stałą dowolną dobierzemy tak, żeby całka dla x = a była zerem, to wielomian R (x) spełnia dodatkowo warunki

(4)    *(«)-<>,    *'(«)= 0,    ....    *<—>(«)» 0.

Zadanie nasze sprowadza się więc do znalezienia takiego wielomianu R(x) stopnia 2n, żeby było

(5)    / R"\x) Q (x) dx = 0

m

dla dowolnego wielomianu Q (x) stopnia niższego od n i oprócz tego, żeby spełnione były równości (4). Jeśli we wzorze (7) z ustępu 311 zastąpimy n przez n— 1, to otrzymamy

k    k

/ JP">M O (v)dx = IQ (jr) R<—"(x)-Q'(x) R^f-^IHx}+ ... ±e⁽"-"M Jl(jr)]|* ± /R(x)dx.

m    e

Jeśli uwzględnimy (4), a także to, że Q^M(x) = 0, to warunek (5) przyjmie postać

(6)    Q (ó) H"-¹>(4)-e^,(i)) Jł<-¹>(ó)+ ... ±e^<-^,)(6) R(b)~0.

Dzięki całkowitej dowolności wielomianu Q (x) stopnia n— 1 wartości Q (6),    Q^<'^,~^lXb)

tego wielomianu i kolejnych jego pochodnych w punkcie x = b można uważać za liczby dowolne, a wtedy warunek (6) jest równoważny z

(7)    *(*) = 0, Jl'(ó) = 0,    ....    *<-«>(*) = 0.

Z (4) i (7) widzimy, że liczby a i b powinny być n-krotnymi pierwiastkami wielomianu R (x), który wobec tego może różnić się od iloczynu (*—o)*(ac—by co nąjwyżej czynnikiem stałym. Mamy zatem ostatecznie

*.(*) =    l(x-ay(x-b)’].

dx.