0120

122

IX. Całka oznaczona

a zatem

Z drugiej strony,

2_a (a+b)—(a~b) sin²0 __dO_

(a+ó)+(a-*)sin²0    /(«+*)*-(_a_*)* sin²0

j/a¹ cos*q>+b¹ sin¹?) = a    ———— -■

(a+b)+(a—b) sin²0

i ostatecznie

dtp

d<p

}/a¹ cos²?)-|-6² sin²?)    //_a+b V ₂₀ , , ■ _2n

y 1-"^ 1 cos²0+tf6 sm²0

Jeśli oznaczymy a_t = ^-{a+b), b_i = ]fab> to otrzymamy

lt/2

n/2

dO

G- f ■■■ *- ,    _

~    ya¹ cos²<p+b¹ sin²?)    j /aj cos²0-M>f sin²0

To jest właśnie wzór Gaussa.

Stosując to przekształcenie odpowiednią liczbę razy, otrzymujemy

nu

dtp

G = J —_

j y'o²cos¹?)+/)¹sin¹?)

(n = 1,2,3, ...),

gdzie ciągi (a„) i (6„) są określone wzorami redukcyjnymi

a. =    , b„ - l/fl.-i b„~, .

Wiemy już [35, 4], że ciągi te są zbieżne do pewnej wspólnej granicy pi — fi (a, b), którą nazwaliśmy „średnią arytmetyczno-geometryczną” liczb a i b. Z łatwych do wyprowadzenia nierówności

2 a„    2 b.

znajdujemy teraz przez przejście do granicy, że

^G =    > ^sks»^d v ^(a< ^{h) =} ^rr-

2p (a, b)    20

W ten sposób każda z liczb O i /< wyraża się prosto przez drugą. Przypuśćmy na przykład, że mamy obliczyć całkę

dO

-J

n/2

dO

o j/l+cos²0 g [/2 cos²0 + sin²0

Mamy tu a = |/2 i b = 1; ciągi {a,} i {ó„} są szybko zbieżne do pi: już a_Ą i ó* są jednocześnie równe w przybliżeniu 1,198140 i wobec tego można przyjąć, że fi jest też równe tej liczbie. Otrzymujemy więc w przybliżeniu

G = — = 1,3110288 .

2M