DSC07109 (2)

140

Badanlo funkcji

ftirównując wartości funkcji h na końcach przedziału oraz w miejscu zerowania się pochodnej otrzymamy, że najmniejszą wartość równą 0 funkcja h przyjmuje w punkcie x = 0. a największą równą j -j w punkcie z« l. d) Dla funkcji p(*)=x^a |x² - l| mamy

1*1 > 1. 1*1 < i-

.    / 4x^a — 2x dla

P " \ -4** +2x dla

Łatwo modna sprawdzić, że pochodne p'( —1) oraz p'(l) nie istnieją. Wyznaczymy teraz miejsca terowe pochodnej należące do przedziału (—2,3]. Mamy

p(x) = 0<=> ± 2r (2x^a — l) =0m>xx0lubz=Y lub x =

Obliczymy teraz wartości funkcji w punktach zerowanie się pochodnej, w punktach, w których pochodna nie istnieje oraz na końcach przedziału. Mamy

*0) = a P    ^{= P} (^r) “    ^p<~^l} = *>> = °' P(-2) - ¹²- P(3) = 72.

Zatem najmniejszą wartością funkcji p(x) « x⁷ Ir⁵ — l| jest 0, a największą 72.

Funkcje wypukłe i wklęsłe. Punkty przegięcia wykresu funkcji • Przykład 6.4

Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia podanych funkcji:

*) /(*) = *⁴ - fi*² - 6x*. b) s(x) *    ; c) h(x) = e**;

d) p(x) = sin³ x;    e) ę(x) = X² lnx;    f) r(x) = (1 + x³) c^x;

g) «(*) * *⁴(* - 2)⁴;    h) o(x) = x - tgx;    i) in(x) = arc tg (x³) .

Rozwiązani*

Wypukłość i wklęsłość oraz istnienie punktów przegięcia wykresu funkcji określamy badając jej drugą pochodną.

a)    Funkcja / ma pochodne wszystkich rzędów na R. Mamy /'(z) = 12z^a — 12, stąd

/"(*) > 0 <=> 12 (X³ - l) > 0 <=*> x < — 1 lub x > 1.

Funkcja / jest zatem ściśle wypukła na przedziałach (—oo, — 1), (l,oo). Podobnie,

/"(*) < 0    — 1 < x < 1.

Funkcja / jest zatem ściśle wldęsła na przedziale (—1,1). Ponieważ w punktach * = -1. x = 1 funkcja f zmienia rodzaj wypukłości, więc punkty (—1,/(—1)) as (-1,1). (*•/(*)) * (*•-**) ** punktami przegięcia jej wykresu.

b)    Funkcja g ma pochodne wszystkich rzędów na zbiorze R \ (1). Mamy

*"(*)

2 (ar³ + 4x +1)

Przykłady

149

/'(*) > o <=> (x: - O*'[x - (-2 - v/3)] [x - (-2 + >/3)] > o

<=> -2-y/3< x< —2 +V5 lub x > 1.

Funkcjn $ jest zatem ściśle wypukła na przedziałach (-2 - \/3, -2 + n/3), (1,oo). Podobnie,

g"{x) < 0 <=> x < -2- \/5 lub -2+ v/3<x < 1.

Funkcja g jest zatem ściśle wklęsła na przedziałach (-oo,-2 - y/5) , (-2 + v^3,l). Z powyższego wynika, że wykres funkcji g um punkty przegięcia w punktach o odciętych z = -2 — Z5, x = -2    y/3. W punkc ic o odciętej x — 1 wprawdzie zmienia się rodzaj

wypukłości, ale funkcja g nie jest w tym punkcie określona,

c) Funkcja h ma pochodne wszystkich rzędów ho R\ (0). Mamy

i , V* ( ^* - 2) te , .

¹    M—~^e y    ^

Stąd

h"(x) > 0 <=> x > 8 lub x < 0.

FUnkcja h jest zatem ściśle wypukła na przedziałach (-oo,0), (8, oo). Podobnie.

/i"(x) < 0 <=> 0 < x < 8.

Funkcja h jest zatem ściśle wklęsła na przedziale (0,8). W punkcie x = 0 funkcja h ma pochodną niewłaściwą równą co oraz zmienić w tym punkcie rodzaj wypukłości. Zatem wykres funkcji h ma w punkcie (0,1) punkt przegięcia. W punkcie x = 8 funkcja h ma pochodną skończoną oraz zmienia w tym punkcie rodzaj wypukłości, zatem takie punkt (s.e²) jest punktem przegięcia wykresu funkcji.

d) Przy badaniu wypukłości funkcji p wykorzystamy jej okresowość i parzystość. Funkcja ta ma okres T = ir, zatem, ze względu na parzystość, jej badanie wystarczy ograniczyć do przedziału jo, . Mamy p^w(x) = 2cos2x, stąd

p"(x) > 0 <=> 2 cos2x > 0<=>x e [p»    •

Zatem funkcja p jest ściśle wypukła na przedziale |o,    . Podobnie

p"(x) < 0e=>2cos2x <0<=>z6

więc funkcja p jest ściśle wklęsła na przedziale ^. Stąd wynika, ze w punkcie x = - jej wykres zmienia rodzaj wypukłości. Zatem wykres funkcji p ma w punkcie (t* 2) P^raegiępl^a- Wykorzystując teraz okresowość) parzystość rozważanej funkcji otrzymnmy, żo jest onn ściśle wypukła na przedziałach postaci Lg|| ggBrj+ torj oraz ściśle wklęsła na przedziałach postaci +A»r,~ +hr^ , gdzie k 6 Z. Ponadto wykres funkcji p ma punkty przegięcia w punktach f J + kx, |j gdzie k € Z.