075(1)

wartość osiąga na końcach tego przedziału: p_nm = p(l) = 0, p_nw = p(e) — = e² (rys. 60).

3) I. Znajdujemy punkty krytyczne:

r' = 2 cos x 2 cos 2x = 2 • 2 cos * cos .x; r’ = 0, gdy cos = 0

i gdy cos y = 0. Pierwsze równanie ma pierwiastki x_k— y (2&+1),

a drugie ** = n(2k+l), przy czym /c = 0, ±1, ±2, ...

Są one wszystkie punktami krytycznymi, ponieważ funkcja r jest określona i ciągła na całej osi liczbowej. Spośród tych punktów wewnątrz rozwa

żanego przedziału jo, y rrj znajdują się punkty krytyczne x_: = -y

i x_n = w. Pochodna r' istnieje wszędzie, dlatego funkcja r nie ma innych punktów krytycznych. Funkcja w znalezionych punktach krytycznych

x_{ i x_n przybiera wartości: r ( ^;T) = —, r (n) = 0.

II.    Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału: r(0) = 0, r jrj = = -2.

III.    Z porównania wartości funkcji obliczonych w wewnętrznych punktach krytycznych i na końcach przedziału widać, że największą wartością

funkcji w tym przedziale jest r_nw —

/iL\ 3 v'3    •    • •

^r\3] ^ ~§~> ^a najmniejszą r„_m ==

4) W tym przykładzie zmienność argumentu nie jest ograniczona żadnym przedziałem, a funkcja jest określona na całej osi liczbowej. Dlatego należy rozpatrzyć wszystkie wartości funkcji, jakie przybiera ona, kiedy x zmienia się od —oo do - oo.

I. Znajdujemy punkty krytyczne: y' = j~* ; y — O w punkcie .v — 0.

Jest to punkt krytyczny, ponieważ funkcja jest wszędzie określona i ciągła. Innych punktów krytycznych nie ma, bo pochodna y' wszędzie istnieje.

H. Badamy punkt krytyczny określając znak pierwszej pochodnej na lewo i na prawo od tego punktu. Punkt x — 0 jest punktem minimum, przy czym y_ml„ = 0.

				y
X	-i	0	i	TT
/	-	0	*T*	—2
y		—r'	roś.
		min		0	1 X

Rys. 61

III. Korzystając z przytoczonej wyżej własności 1 funkcji ciągłej, wnioskujemy, że funkcja y, mająca jedyne ekstremum — minimum i nie mająca punktów nieciągłości, przybiera wartość najmniejszą w punkcie minimum: y_Km — y_m;„ = 0, ale nie ma wartości największej, mimo iż nie rośnie nieograniczenie. Gdy x Jźoo funkcja dąży asymptotycznie do wartości njl (rys. 61).

Znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji:

357.    y — x³—9xⁱ+24x—10 w przedziale [0, 3]

358.    u = x—21n.v w przedziale [1, e]

359.    v = 2sinx+cos2x w^f przedziale |o, yj

360.    y = e~^xt 361. y ~YI

153