0082

83

§ 1. Pojęcie funkcji

otwarty (—1, 1), bo na końcach przedziału mianownik wyrażenia przyjmuje wartość 0. Niekiedy obszar wartości, w którym wyrażenie zachowuje sens, składa się z rozłącznych przedziałów: dla yj x² — 1 są to przedziały (—co, —1> i <1, +oo),dla l/(*² — 1) są to przedziały (—oo, — 1), (—1, 1) i (1, +oo), itd.(‘). Jako ostatni przykład rozważmy sumę nieskończonego postępu geometrycznego

1 -\-x-\-x²-f-...~\~x    +... — iim (1 -j-x-Ą-x -4-..* —ł-at” ¹),

n ^ oo

Jeżeli |x] <1, to jak wiemy [25,7)], granica ta istnieje i ma wartość 1/(1 —x). Przy |x|> 1 albo granica nie istnieje w ogóle, albo równa się +oo. Tak więc dla przytoczonego wyrażenia analitycznego naturalnym obszarem stosowalności jest przedział otwarty (—1. 1).

W dalszym ciągu będziemy rozważali zarówno wyrażenia analityczne bardziej złożone, jak i bardziej ogólne, i nie raz będziemy zajmowali się badaniem własności funkcji, danych podobnym wyrażeniem w całym obszarze, w którym wyrażenie ma sens, tj. będziemy badali sam aparat analityczny.

Możliwa jest jednak jeszcze inna sytuacja, na którą należy zwrócić uwagę czytelnika od razu. Wyobraźmy sobie, że jakieś konkretne zagadnienie, w którym obszar zmienności % zmiennej x jest wyznaczony w sposób naturalny, prowadzi do rozważenia funkcji f(x), o wyrażeniu analitycznym. Chociaż może się zdarzyć, że to wyrażenie ma sens również poza obszarem X, to nie możemy oczywiście wychodzić za ten obszar. Tu wyrażenie analityczne gra rolę podrzędną, pomocniczą.

Na przykład, badając swobodny spadek punktu materialnego z wysokości h nad powierzchnia ziemi, otrzymujemy wzór    ₂

^s F

[44, 2)], i niecelowe jest rozważanie ujemnych wartości t lub wartości t większych niż T=yj2hlg, ponieważ przy t— T punkt już spadł na ziemię. Nie zwracamy więc uwagi na to, że samo wyrażenie ma sens dla wszystkich t rzeczywistych.

3° Może się zdarzyć, że funkcja nie jest określona tylko jednym wzorem dla wszystkich wartości argumentu, ale dla pewnych argumentów jednym wzorem, a dla innych — innym.

Przykładem takiej funkcji w przedziale ( — oo, +co) jest funkcja określona następującym wzorem: /(*)=

1 ,

-1 , 0,

jezen

jeżeli

jeżeli

|jc|>1 (tj. jeżeli x>l lub x<— 1), |jfj < 1 (tj. jeżeli — 1<jc<1), x=±l .

Wspomnimy jeszcze o funkcji Dirichleta określonej tak:

[ 1 dla x wymiernych , dla

X(x) =

0

x niewymiernych .

Rozważmy jeszcze wraz z Kroneckerem funkcję, którą nazwał on signum x<²) i oznaczy! przez sgn x:

1	dla	x>0,
-i	dla	jc<0 ,
0	dla	II O

(¹)    Rozumie się samo przez się, że nie interesują nas wyrażenia nonsensowne, które nie są określone przy żadnym x.

(²)    Signum znaczy po łacinie znak.