0078

79

§ 1. Pojęcie funkcji

We wszystkich tych przypadkach długością przedziału nazywamy liczbę b — a.

Odpowiednikiem geometrycznym przedziału liczbowego jest oczywiście odcinek prostej, przy czym — w zależności od rodzaju przedziału — do odcinka należą jego końce lub nie należą.

Rozważamy również przedziały nieskończone, w których jednym z końców lub obydwoma końcami są „liczby niewłaściwe” — oo, +oo. Oznaczenia tych przedziałów są analogiczne do poprzednich. Na przykład ( — 00, +00) jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych; (a, +00) jest zbiorem liczb x, spełniających nierówność x>a\ wreszcie przedział (-oo,ó) określony jest nierównością x^b. Geometrycznie przedziały nieskończone mają jako przedstawienie prostą lub półprostą.

44. Zależność funkcyjna między zmiennymi. Przykłady. Głównym przedmiotem badań w analizie matematycznej jest jednakże nie zmienność jednej zmiennej, lecz zależność pomiędzy dwiema lub większą liczbą zmiennych przy ich łącznej zmianie. Ograniczamy się tu do najprostszego przykładu dwóch zmiennych.

W różnych dziedzinach nauki i życia — w samej matematyce, w fizyce, w technice — czytelnik spotkał nieraz takie zmienne zmieniające się łącznie. Nie mogą one jednocześnie przybierać dowolnej pary wartości (ze swych obszarów zmienności); jeżeli jednej z nich 0zmiennej niezależnej) padano konkretną wartość, to już wyznaczono w ten sposób drugą zmienną (zmienną zależną) i zależność {funkcję). Przytoczymy kilka przykładów.

1)    Pole Q koła jest funkcją promienia okręgu R ; jej wartość może być obliczona z danego promienia za pomocą znanego wzoru:

Q=nR² .

2)    W przypadku swobodnego spadku ciężkiego punktu materialnego — przy braku oporu - czas t (sek.), liczony od początku ruchu, i przebyta w tym czasie droga s (m) związane są równaniem:

^S 2

gdzie 0=9,81 m/sek² jest przyśpieszeniem siły ciężkości. Stąd wyznaczamy drogę s odpowiadającą obranej chwili t: droga s jest funkcją minionego czasu t.

3)    Rozważmy pewną masę (idealnego) gazu, zawartą pod tłokiem w cylindrze. Przy założeniu, że temperatura pozostaje stała-objętość V (1) i ciśnienie p (atm) tej masy podlegają prawu Boyle’a-Mariotte’a:

pk' = c=const.

Jeżeli w dowolny sposób zmieniamy V, to p jako funkcja V jest za każdym razem określona jednoznacznie wzorem

c