0532

533

Zagadnienie przedłużania funkcji

We wszystkich przypadkach, gdy u podstaw otrzymywanych wniosków leżał wzór

(13)    otrzymujemy teraz istotne uzupełnienie dawnych wyników.

Tak więc przy podanych założeniach funkcja / ma różniczkę zupełną [179] nie tylko w punktach wewnętrznych obszaru M, ale i w punktach brzegu. Dla powierzchni przedstawionej równaniem z=/(y, y) możemy mówić o płaszczyźnie stycznej [180] nawet w punktach konturu.

Na wzorze (13) oparta jest także reguła różniczkowania funkcji złożonej [181]. Jeżeli funkcje

(14)    x=(p(t), y=y(t) (t₀^t^T)

mają pochodne, i punkty (ę>(t), y(t)) leżą wszystkie wewnątrz obszaru Jt, to dla funkcji złożonej z=f(ę{t), y(t)) mamy wzór

dt ^Jx dt ^Jy dt ‘

Teraz wzór ten obejmuje również przypadek, gdy krzywa (14) dochodzi do brzegu obszaru J(. Itd., itd.

Pokażemy jeszcze jeden ważny przykład nie wchodząc w szczegóły. Niech będzie dany układ funkcji

(15)    x=<p{u,v), y = y(u,v)

ciągłych wraz z pochodnymi w pewnym obszarze domkniętym & na płaszczyźnie uv mającym kontur Jf, i niech w pewnym punkcie (u₀, v₀) tego obszaru jakobian

D(y, y)

D(u,v)

będzie różny od zera. Jeżeli punkt (u₀, v₀) leży wewnątrz to według twierdzenia IV z ustępu 208 układ funkcji (15) można odwrócić tak, że w otoczeniu punktu (x₀, y<>)> dla którego

Xo = <?(Mo,»o)> yo^yiMo^o),

zmienne u i v stają się jednoznacznymi funkcjami zmiennych x i y:

(15*)    u=X(x, y),    »=ji(x,y),

ciągłymi wraz z pochodnymi. Dla wartości u, v, x, y, dostatecznie bliskich odpowiednio «o >    , *o >    > układy (15) i (15*) są równoważne. Korzystaliśmy z tego na przykład dowo

dząc, że powierzchnia

x=ę>(u,v),    y~y(u,v),    z=x(u,v),

gdzie (u, v) zmienia się w obszarze &, może być przedstawiona równaniem nieuwikła-nym w otoczeniu punktu zwykłego M₀ odpowiadającego wartościom u=u₀, v=v₀ [228]. W punktach konturu powierzchni przeprowadzonego wówczas rozumowania nie można było stosować, bo na płaszczyźnie uv punkt (u₀, v₀) nie mógł leżeć na konturze obszaru 9.