82285

Funkcja podcałkowa jest określona na przedziale < —1; 1 > . Podstawmy x = sin t , gdzie t G< " > • Wtedy dx = cost dt i t = arcsinx

1 + cos 21 ,    1 sin t cos t „

—2—<«= 2^{t +} -^—^{+ C} =

J Vl — x² dx — J |cosf| cos t dt — J cos²1 dt — j

1    X\/l- X² , ^

-arcsiiu------1- C

Przykład 5.6 Podstawiając x = t³ obliczymy całkę

/ ^dX = 3 / 7+l^dt = 3/(*^_1)'^{// +} 3 J TTl^dł = S** ⁺ "3^ + 31n|^+l|+C

5.2 Całkowanie przez części Twierdzenie 5.4 Niech u. v G C^l(A) . Wtedy

J u(x) t/(x) dx = u(x) v(x) — J t;(x) «'(x) dx

Dowód wynika z twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji

(tit') = li 1; + uv

Przykład 5.7

J\nxdx = J{x)' lnxdx = xłnx — J x-dx = x\nx - x + C

f    .    f ^x .    ln(l+x²) „

/ arc tg xdx = xarctgx — / --s dx = xarctgx----+ C

J    J 1 + x*    2

Uwaga: Nie wszystkie całki funkcji ciągłych (a więc całkowalnych) dają się przedstawić przez funkcje elementarne.

Na przykład :

/?*-/£■ /=?*’ !'-'*< I**

6 Funkcje wielu zmiennych

6.1 Definicja funkcji wielu zmiennych

Eh/*-**)²

*=1

Niech A C Ttⁿ , x = (x,,x₂.....x_n) , y = (y_x,y₂, - y_n) . d(x,y)

Definicja 6.1 (Otoczenia pnnktu)

Otoczeniem o promieniu r punktu Po £ ft^,ł nazywamy zbiór:

O(Po.r) =^r {P :d(P₀.P)<r}

35