DSC07136 (6)

200

Całki oznaczone

c) Funkcja f(z) = aa x jest całkowalna na przedziale [a,6| = ^0, ^ j, więc możemy skorzystać i tego samego wzoru co w przykładzie a). Zatem

z

/

ans dr = lim

= Cm

4n

sin —-4n

ir r—» , . ir — > sin i — 2n u 2n

= Cm n—co	. n jr , n +1 ir ’ * ^Sln 5 ’ 2n ^8m 2 " 2n
	2n ^JL
	_ 4n

W--2sin-

n + 1 ^f 4n

W miejscu oznaczonym (•) korzystaliśmy z tożsamości podanej we wskazówce, a w miejscu ■■mrnwym («•) korzystaliśmy z równości lim — = 1.

d) Funkcja/(r) = 2* jest całkowalna na przedziale [a, 6] = (0,1). Możemy więc skorzystać ze wzoru podanego w przykładzie a). Mamy

/

2*dr = Km

n—co

n

= Cm

.    <=t

= Cm »—«

= Hm

tf2-l

l .

= b2^=logae-

2n -1

W miejscu iu>»mfii (■) wykorzystaliśmy wzór na sumę Ar wyrazów ciągu geometrycz-

Sk = a i

y-i

9-1 a w miejscu oznaczonym (••) równość podaną w przykładzie b). e) Funkcja /(x) = ż¹ jat całkowalna na przedziale [a,6j = [0,1], więc możemy skorzystać ze wzoru podanego w przykładzie a). Ponadto wykorzystamy tożsamość

eM^

Mamy zatem

/** dz se Cm

Przykłady

201

|») Funkcja /(x) = lnx jest całkowalna na przedziale [a,6| = [1,2). Możemy zatem dokonać podziału przedziału |1,2| oraz wybrać punkty pośrednie w dowolny sposób. Niech zatem

*0 = 1, *i = X2 = (f,... ,x„ = qⁿ = 2 będą punktami podziału V_n odcinka (1,2). Stąd q = \/2. Wtedy

Ax* =x_k-Xk-i =    v''2^Err = V2*^r‘(y2-^,

Przedział Az* jest najdłuższy, gdy k = n. Zatem średnica podziału wyraża się wzorem

6(V_n) = Ax_n=2--±=.

Oczywiście

Jako punkty pośrednie podziału wybierzemy prawe końce odcinków podziału, tj. punkty t[ = Xk = V&, gdzie 1 $ k $ n. Wtedy

|    k=l    k=l

= |tog^:ln2 ^^(^5-1)]

v=j

= lim

n—oo

= ln 2 lim

>/2 — 1 2n y/2 — 2(n+ 1) + 1 *    '    (^2 — l)^a

2n(^-l)-l = ln2 hm -y—=———

n—oo n( y/2 — 1J

= ln 2 lim

2-

"(^jH

= In2 (2— j^) = 21n2 -1.

W miejscu oznaczonym (□) korzystaliśmy ze wzoru podanego we wskazówce, a w miejscu oznaczonym (•) ze wzoru podanego w rozwiązaniu przykładu b).

•Przykład 8.2

Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć podane całki:

1    1

•) J (z³ - x + 1) dx\ b) J (x + V*) dx\ -1    0

i    a

®)/aln^łxdx;    d) f j?* ~ f dx.

i    J ** + ¹