00098512

3)2    III ll'VKUt IMIŁNNtJ /KSPOI.ONFJ

Funkcja f(zi - z* jest holomotfkzna na całej płaszczyźnie. a JT(0; p) jest gładka krzywa Jordan*,; więc z uwagi na twierdzenie podstawowe Cauehy'ego rozważana całka jest równa zeru. Półwiek: dnmy ten wynik bezpośrednim rachunkiem Mamy tu

stad

: ■■ ? *>\ K-    2*V.    dl /P©»■<*

t    2n    2n

ijb z"di = (j p»eJ"' jptl'di *= Je’*¹ ( eł("⁺¹1' dl — 0 Wj>)    Ó    6

Wniosek l. Jeżeli funkcja/u) je« holomorficzna w obszarze jednospójnym A to całka

j f{z)dz    OH. 127)'

po kawałkami gładkim luku AB = D nie zależy od kształtu lego luku, a jedynie od jego początku A i końca B

Istotnie, roecb C, > 8 i Cj c p oznaczają dwa toki kawałkami gładkie, skierowane od Aj do B (rys. HUS). Dla uproszczenia zakładamy, że luki le nie rnąią punktów wspólnych oprócz A i B. Na mocy twierdzenia podstawowego Cmichy’ego mamy

J /(z)zfe = 0, więc 5 f(z)dz+ ( f(z)dz = 0    .' Ą

azotem    ^c-’-'<-»»»    .    ' c,    ‘c,

J /(z)«fe = J f{z)dz, cnd.    V ?

Je2di zatem końce A i B łuku AB są ustalone, to całka (III.127) ma wartość określoną jednoznacznie. Wynika stąd. że jeśli oznaczyć symbolem

Inne

całkę (III. 127), w przypadku gdy początek A łuku AB c D znajduje się w punkek m>. koniec B tego łuku w punkcie    zaŚ funkcja    jest holomorficzjta w obszarze,

jednospójnym D, to równość

określa w tym obszarze funkcję $(z). Tak określona funkcja ma właściwości podobne do tych, które ma całka oznaczona funkcji zmiennej rzeczywistej, traktowana jako funkcja swej górnej granicy.

Tw. Jeżeli funkcja f{z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D i z₀ e D, to funkcja określona w tym obszarze wzorem (111.128) ma pochodną

4>'(^z) —f{z)    0X1.129)

w każdym punkcie z eD.

DOWÓD lego twierdzenia pomijamy, gdyż jest on bardzo podobny do znanego Czytelnikowi dowodu pierwszego twierdzenia głównego rachunku całkowego (izęść J, rozdz.III, p. 9).

Def. Funkcję /(z) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(z) w obszarze D, jeżeli dla każdego z e D jest spełniony warunek

n*) =m ¹

Z uwagi ha równość (III. 129) łatwo zauważyć, że określona wzorem (111.128) funkcja 4>{z) jest funkcją pierwotną funkcji f(z) w rozpatrywanym obszarze jednospójnym D.

Tw. Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, Ąz) zaś jest jakąkolwiek jej funkcją pierwotną w tym obszarze, oraz z_t e D i z₂ eD, to

J/(z)tfe = F{zj}—F{zj)    (III. 130)

DOWÓD tego twierdzenia jest analogiczny do dowodu drugiego twierdzenia podstawowego rachunku całkowego (cześć II, rozdz. IM, p. 9) i pomijamy go. Wzór (DI. 130) jest odpowiednikiem znanego Czytelnikowi wzoru Newtona-Leibniza,

Przykład. Obliczyć

$ .***

po linii łamanej, przedstawionej na rys. HI.33.

Przykład ten rozwiązaliśmy w p. 10 tego rozdziału, korzystając z twierdzenia o zamianie całki funkcji/(z) wzdłuż łuku Xb na całkę oznaczoną. Musieliśmy przy tym wykonać wówczas łatwe, lecz żmudne rachunki. Zauważmy, że funkcja /(r) = z² jest holomorficzna im całej płaszczyźnie, wiec można skorzystać ze wzoru (UL130), przyjmując z, = 1+/, z, a 4 +J (por. rys. IU.33) oraz _f(z) = ii>.S¥

*+t;    ,    _|4+J j

$ i**- j z»* = -*»||^ = _[{4₊J)a-a+/)^,I =

- ™3 [(4+/)»+(4+ż) (I+j)+(!+/)»] = 18+15/

zgodnie z wynikiem (111.1221.