0263

265

§ 3. Zbieżność szeregów dowolnych

Łatwo zauważyć, że jeśli czynniki oc, nie rosną i są dodatnie, to oszacowanie to można uprościć

(U)

Z tych oszacowań będziemy dalej nie raz korzystali przy różnych okazjach. Teraz zastosujemy je do wyprowadzenia kryteriów zbieżności, ogólniejszych niż przytoczone wyżej kryterium Leibniza.

384. Kryteria Abela i Dirichleta. Rozpatrzmy szereg

w

(W)

= a_lb₁+a₂b₂ + ... + a_nb„ + .

gdzie {a„} i {ó„} są dwoma ciągami liczb rzeczywistych. Następujące założenia o każdym z tych ciągów z osobna gwarantują zbieżność tego szeregu.

Kryterium Abela. Jeżeli szereg

w

(B)

= Ói + Ó₂+ ... + ó„+ ...»

jest zbieżny, a liczby a_n tworzą ciąg monofoniczny i ograniczony,

|aj < K (n = 1, 2, 3, ...),

to szereg (W) jest zbieżny.

Kryterium Dirichleta. Jeżeli sumy częściowe szeregu (B) są wspólnie ograniczone (^J)

|B_a|<M (n = 1,2,3, ...), a liczby a„ tworzą ciąg monofoniczny dążący do zera,

lim a„ = 0 ,

to szereg (W) jest zbieżny.

W obu wypadkach dla dowodu zbieżności szeregu (W) posłużymy się zasadą zbieżności [376]. Rozpatrzymy w tym celu sumę

w-fm    m

^ak bk = On+I b_n+i .

It-ii+l    (=1

Ma ono postać (9) przy czym ot, = a_n+l, = b„+_t. Spróbujmy oszacować tę sumę na podstawie lematu.

Przy założeniach Abela, do danego e > 0 można znaleźć takie N, że dla n > N nierówność

|£n+l + £«+2+ ••• +b_K+p| < e

(') Jest to żądanie słabsze od zbieżności szeregu (B).