0265

267

§ 3. Zbieżność szeregów dowolnych

przy założeniu, że tylko x # 2kn (k = 0, ±1, ±2, ...). Tak więc, jeśli tylko x ^ 2kn, obie sumy są dla każdego n ograniczone co do wartości bezwzględnej liczbą l/|sin -i- x\. Na podstawie kryterium Dirichleta

obydwa szeregi są zbieżne dla każdej wartości x różnej od 2kn. Pierwszy szereg jest zresztą zbieżny także i dla x = 2kn, bo wszystkie jego wyrazy są wtedy równe zeru.

W szczególności zbieżne są szeregi

itd.

y sin nx ^    ^ ₊ j. ₊    sin nx

II— 1

3) Bardzo ciekawe są szeregi postaci

R-l

gdzie {u.} jest dowolnym ciągiem liczb. Noszą one nazwę szeregów Dirichleta.

Można dla nich udowodnić lemat podobny do lematu z ustępu 379, dotyczącego szeregów potęgowych.

Jeieli szereg (12) jest zbieżny dla pewnej wartości x = x*, to jest on zbieżny dla każdego x>x*. Wynika to od razu z twierdzenia Abela, bo dla x>x* szereg (12) powstaje z zbieżnego szeregu

n«l

przez pomnożenie jego wyrazów przez monotoniczr.ie malejące czynniki 1/n*^-** (n = 1, 2, ,3,...).

*    i    j    “    2»

Istnieją szeregi (12) wszędzie zbieżne, jak na przykład Y -rr- • —- i wszędzie rozbieżne, jak Y,.—.

Zr.1    ²    "    Zi

Jeżeli wyłączymy te przypadki, to za pomocą powyższego lematu można łatwo stwierdzić istnienie granicznej odciętej zbieżności A, takiej że szereg (12) jest zbieżny dla x>X i rozbieżny dla x<A. Na przy-

1    V’(—1P^_1

kład dla szereguj —jest oczywiście A - 1, a dla szeregu 2_,—-p—-jest A = 0. Jeśli chcemy, możemy

n—1    r—1

przyjąć dla szeregu wszędzie zbieżnego A = — oo, a dla szeregu wszędzie rozbieżnego A = + od.

Czytelnik zauważy łatwo podobieństwo do szeregów potęgowych. W obu przypadkach obszarem zbieżności jest pełny przedział. Ale jest tutaj też istotna różnica: obszar zbieżności bezwzględnej może się tutaj nie pokrywać z obszarem zbieżności w ogóle. Tak na przykład wspomniany szereg A (_])■-•

2_, —-j— jest zbieżny dla x>0, ale jest bezwzględnie zbieżny tylko dla x>l »— 1

4) Porównajmy z szeregiem Dirichleta (12) szereg

(13)

s

R«1

_nl a.

x(x+l) ... (x+n)

o takich samych współczynnikach a„. Będziemy przy tym, rzecz jasna, zakładali, że x jest różne od 0, —1, -2, ... itd.

Przy tym założeniu jest słuszne następujące twierdzenie Landatta: Szeregi (12) i (13) są zbieżne dla tych samych wartości x.

Szereg (13) powstąje z szeregu Dirichleta (12) przez pomnożenie odpowiednio jego wyrazów przez czynniki

(14)

(n = 1, 2, ...) .

n! n*

x (x+l) ... (x+n)

Dla dostatecznie dużych n czynniki te zachowują określony znak, prócz tego począwszy od pewnego n zmieniają się już monofonicznie.