img313

przy założeniu, że ładunki czynnikowe spełniają warunki wynikające ze wzoru (15.30). Postępując tak dalej osiąga się żądany poziom wyjaśniania wariancji zmiennych Z„, np.

75%.

Wyjaśnienia wymaga sposób poszukiwania warunkowego ekstremum funkcji V_r Stosuje się tu metodę mnożników Lagrange’a, co sprowadza się (dowód pomijamy) do wyznaczenia wszystkich różnych od zera, uporządkowanych nierosnąco wartości własnych macierzy R ' oraz odpowiadających im wektorów własnych. Macierz R ’ jest symetryczna, zatem jej wartości własne są rzeczywiste a odpowiadające im wektory własne ortogonalne.

Ładunki czynnikowe oblicza się stosując wzór

(15.31)

gdzie

w, = (w_u, Wy,...,    — jest wektorem ładunków czynnikowych występujących przy

1-tym czynniku;

A, = (A.,,X2.....\j) —jest wektorem wartości własnych;

A,= a_2h..., a_Ni) —jest unormowanym wektorem własnym odpowiadającym Mej wartości własnej.

Zatem ładunek czynnikowy n-tej zmiennej i /-tego czynnika jest obliczany jako

(15.32)

Wyznaczanie ładunków w metodzie głównych składowych różni się tylko tym, że macierzą wyjściową jest macierz korelacji. W macierzy tej znajduje się wartości własne oraz wektory własne i na ich podstawie ze wzoru (15.32) wyznacza się wielkości w_nl. Zauważmy jeszcze, że jeśli D jest macierzą ortogonalną, to transformacja czynników

W' -W D

nic zmienia struktury macierzy korelacji określonej wzorem R ’ = wW^T, ponieważ:

W D (W D)^t =\V D D^tW^t= W \V^t .

313