s62 63

02

2. Dziedziną funkcji jest zbiór D = ( — 1,0) U (0, oo). Łatwo zauważyć, że

02

lira

X —>— 1 +

ln(x + 1) 3.x

oo,

więc prosta x = — 1 jest asymptotą pionową prawostronną funkcji y. Ponieważ,

lim

x —> 0 ~

ln(:r + 1) 3x

lim

x->0~

lim -r =

x~*0~ 3(.X -4-1)    3

ln(x+l)    £zj    1    1

lim -- = Inn -i— = lun —7-7 =

x—»o+    3x    x—»o+ 3    x->o+ 3(x + 1)    3

więc funkcja ta nie ma asymptoty pionowej o równaniu x = 0. Dodajmy, że licząc powyższe granice skorzystaliśmy z twierdzenia de 1’Hóspitala.

Zbadajmy istnienie asymptoty ukośnej prawostronnej. Korzystając z twierdzenia de 1’Hóspitala, mamy

m. lim	ln(x + 1)	= lim	= lim
x—*00	3:i;^2	X~rOO QX	x—»oo
n = lim	ln(x + 1)	= lim ^±1	= lim
x—>00	3x	x —> OO 3	x—>00

1

6x(x + 1) 1

0,

0,

a więc y = 0 jest asymptotą ukośną (poziomą) prawostronną wykresu funkcji y.

Wyznaczyć asymptoty następujących funkcji:

¹'^ysa^3

3. y = x² - 100

8

5. y = 7. y =

4 - x²

9

X

x² + 1 1

2. y = 4. y =

6. y

8. y =

x

x — 1 2

(x — 4)²

2x - 4

9. y = x +

x

x — 1 10. y — x + e~

11. y = x + 1 +

x - 1

12. y=-+ 6x²

x

32.2/

x — 4

29. 2/ = xln

13. y =

x² + 1

x² — 4x + 3

14.2/

x — 1

15-2/ =

2 + x — x²

(* - l)²

17. 2/ = 3-19. (/ = ar²e~*

21. y = (x² - 3)e*

23. y — x + xarctgx

a; — 4 25. y = —— ln a;

27. ?/ — -y/xlnx

x²(x — 2)

16. y = fi^-~

18. y = (x + 2)e^ 20. y = xe * + 1 22. y — x — 2arctgx

24.2/=—+ arctgx x

26. 2/ =

lnx x — 1

28. 2/ = ln ( —I- e

3/1

30. ?/ = -x ln I e —— ^J 2 V 3x

31. y = \/x² - 1

„„ sin3x 33. y = -

x

Odpowiedzi

1.    x = | asymptota pionowa obustr.; y = 0 asymptota pozioma obustr.

2.    x = 1 asymptota pionowa obustr.; y = 1 asymptota pozioma obustr.

3.    Asymptot brak

4.    x = 4 asymptota pionowa obustr.; y — 0 as. poz. obustr.

5.    x = 2 i x = — 2 asymptoty pionowe obustronne; y = 0 asymptota pozioma obustronna

6.    x = 2 asymptota pionowa obustr.; y = f + 1 asymptota ukośna obustr.

7.    y = 1 asymptota pozioma obustronna

8.    x = 1 asymptota pionowa obustr.; y = x + 1 asymptota ukośna obustr.

9.    x = 0 asymptota pionowa obustr.; y — x asymptota ukośna obustr.

10.    y = x asymptota ukośna prawostronna

11.    x = 1 asymptota pionowa obustr.; y = x + 1 asymptota ukośna obustr.

12.    x = 0 asymptota pionowa obustronna