S6300976

d) Dziedziną funkcji p jest zbiór (—00,3) U (3, 00). roi._lw,._    _

na zbiorze (-00,0) U (0, 00), więc funkcja p jest ciągła na przedziałach    ^ _Cj.

(3.00). Zbadamy teraz ciągłość tej funkcji w punkcie x₀ = O (nie badamy cją^’^- ufS w punkcie 3, bo nie należ}' on do dziedziny). Marny p(0) = 0 oraz    °^^r:‘

sgn (z?²)    l

lim --Ig — —7 — —1.

x—o sgn (x — o)    —1

Zatem funkcja p nie jest ciągła w tym punkcie. Ostatecznie funkcja p jgg* . zbiorze (—00,0) U (0,3) U (3,00).    ^Cl3gła

• Przykład 3.3

Dobrać parametry a, 6 € K tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskaż punktach:

arc tg ^ dla x 0. b    dla x = o

( clx + 1 dla x < —,

^a) /(^x) ~ Y    7T

^ sin 1 + 0 dla x > —,

7T

xq = 0.

Rozwiązanie

Funkcja / jest ciągła w punkcie xo, gdy jest w tym punkcie ciągła lewostronnie i prawr, stronnie tj.

lim_ /(x) = /(xo) = lim /(x).

*—^xo    * — *0

7T

a) Funkcja / jest ciągła lewostronnie w punkcie xo = —. bo jest funkcją liniową na

przedziale f—00, ^1. Obliczamy granicę prawostronną funkcji / w punkcie xr = ^ Mamy

X> $

lim /(x)    lim (sin x -f- 6) — 1 -+- 6.

x—f+    i⁺

Ponieważ / f    + 1 , więc funkcja / będzie ciągła w punkcie xo = ^. gdy

lim /(x)

ł⁺

czyli, gdy 1 + b = o— + 1. Zatem funkcja / jest ciągła w punkcie zo = gdy liczby rzeczywiste a. 6 spełniają warunek 6 = a —.

b) Rozważymy trzy przypadki: I. a > O; II. a < O; III. a — O. W pierwszym przypadku mamy:

lim g(x) — Hm arc tg — = — —

x —•O**    x —*0 ~    X    2

oraz

lim c?(x)

x—•O**

lim arc tg — x— O+    *