MATEMATYKA018

28 I. Wiadomości wstąptt*

funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych y£l, czyli przedział (-00,1 >.

na

Można więc zapisać, że f: R -»(-<*>, 1 >.

Funkcję odwzorowującą dowolny podzbiór D zbioru R w zbiór R, czyli funkcję f: D -» R, D c R nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej.

2)    Niech D = {(x,y) e R^:: x² +y² ś 1} i niech

f(x,y) = I +x² +y² dla (x,y)el),

Jest to funkcją odwirowująca zbiór DcR' w zbiór R. Funkcje takie nazywamy funkcjami rzeczywistymi dwóch zmiennych rzeczywistych

3)    Niech A = {1,2}. B={1,2,3} i D = A x B = {(1,1),(1,2), (1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}. Określmy odwzorowanie zbioru D w zbiór liczb rzeczywistych za pomocą tabeli:

\B A \	1	2	3
1	3	-1	0
2	0	1	2

Oznaczmy przez a_ikelement przyporządkowany parze (i, k) eD. Z tabeli

łatwo odczytujemy, żc np : a,, = 3, a₂₃ = 2, a₁₂ = -1. Odwzorowanie takie nazywamy macierzą (por rozdz. VII, 1) o elementach rzeczywistych o wymiarach 2 x 3 i zapisujemy w postaci

'3    -1    0'

°    1    2/

4) Funkcja f określona wzorem

f(z) = 2z^s-iz + 3,

gdzie z oznacza dowolną liczbę zespoloną odwzorowuje zbiór liczb zespolonych w zbiór liczb zespolonych, czyli f: C -► C.

Funkcję f:D->C, DcC nazywamy funkcją zespoloną zmiennej zespolonej.

5)    Funkcja

<p(x) = (x² + l,2x), x € R określa odwzorowanie zbioru R w zbiór R², a funkcja

v|/(x,y) = (x - e^y, y² + x\ y), (x,y) eR‘

określa odwzorowanie zbioru R' w zbiór R\

Odwirowania lej postaci nazywamy funkcjami wektorowymi.

6)    Każde odwirowanie zbioru liczb naturalnych N w zbiór Y

f: N -» Y

nazywamy ciągiem nieskończonym, Wartości tego odwirowania nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy

f(n) = p_n, n = 1*2,...,

natomiast ciąg o wyrazach p_n oznaczamy symbolem (P„) lub p,,p₂,...

W przypadku gdy Y jest zbiorem liczbowym - zbiorem liczb rzeczywistych lub liczb zespolonych - ciąg ten nazywamy ciągiem liczbowym.

Odwirowanie skończonego zbioru D = {l,2,...,k} liczb naturalnych w dowolny zbiór Y nazywamy ciągiem skończonym, a dokładniej ciągiem k-wyrazowym i oznaczamy symbolem (p,, p₂,..., p_k) •    ■

FUNKCJE RZECZYWISTE ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ. Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej jest to każde odwirowanie dowolnego podzbioru zbioru R w zbiór R;

fD->R, Dc R.

Zatem jest to funkcja, której dziedzina i przcciwdziedzina są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych.

Używany w dalszym ciągu tego paragrafu termin, funkcja, oznaczać zawsze będzie funkcję rzeczywistą zmiennej rzeczywistej.

Funkcje f,: D, -» R i f₂: D₂ —> R nazywamy równymi, gdy

A

X€D,=D,

D, = D₂ oraz