31691 s26 27

26

26

y jest ona 1. W tym

3. Dziedziną funkcji / jest zbiór liczb rzeczywistych. Należy zbadać ciąg / jedynie w punkcie x*o — 1, gdyż w pozostałych punktach dziedziny funkcją ciągłą. Zbadajmy istnienie granicy funkcji / w punkcie xq — celu wyznaczmy granice jednostronne, czyli

lim f(x) = lim (—x²+ 6) = 5,

X —r 1 “    X — 1 -

lim f(x) — lim (x-b2A;)

X — 1 +    X — l *-

1 + 2 A;

Stąd wyniki, że granica lim f(x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy 5 = 1 + 2k,

X —r J

czvli dla k — 2. A więc dla k = 2, mamy

*/    Kf    i

lirn f(x)

X —-l

a

/(1),

co oznacza, że funkcja / jest ciągła w punkcie x*o = 1 Odp. Dla k — 2, funkcja / jest ciągła.

4. Należy zbadać ciągłość funkcji / jedynie w punkcie x₀ = 0. Wyznaczając granice jednostronne mamy:

= 3.

lim f(x) — lim [ 3 + e

X — 0- ‘    .ł: — 0 -

lim f(x)

x — 0+

lim

X—rti +

sin kx 3x

X

.. k sin kx

hm - —--

—ot- ó kx

k

3

d, że granica lim f(x) istnieje gdy 3

-o'

a więc k = 9. Ponadto

dla k = 9, mamy

lim f(x) = 3 = /(O)

.j: — 0

To oznacza, że funkcja / jest ciągła dla k = 9.

Zbadać ciągłość i określić rodzaj punktów nieciągłości dla funkcji nieciągłych:

i - /(•'••) =

X* yć 4 x = 4

3. f

X 6 ]R \ {-2,1}

x — — 2 lub x* = 1

4. /(x) =

x² - 4

x 2

5

4

7*

•Ay

2

5. f(x)

X < 1 X > 1

x² 4 x²

2x

6. /(x) =

x

1

?■ f(x)

X < 0

O < x x > 1

1

8. f(x)

10. f(x)

9

X

1

1
arctg—	x < 0		/
^1 X		1	arctg ln x x
0	o II 4	9. f(x) = l *	ir
7r	x > 0		[^1 0
X---			K £
2
sin^2 x	x £ IR, \ {0}
X V X^2
- 1	^ • II o
|x — 1|	0 < < 2

X > (

x < CJ

7

3

x > 2

11. f(x) = i

— ;f -h 4x sin x

2x

x < 0

2'

12. /(x)

2^r + 1

- 1

x

0

W yznaczyć wartości parametrów, dla których podane niżej funkcje są ciągle:

	64-	~ XX	CO			j	( s/x- 4 - 1	5 t. - 4
1 3. f(x) = <	1 ^r"	- 8				14. /(*) =	1 x — 5	X ?
1	t a		00 II H			1	[ tri — 1	X -
15. /(x)=	1 sin(	d-x) V	x < 0			16. f(x) = i	^ sin .i* e ^kl x i--- 0	5
1 I	U r ^a	>	x > 0 X £ [-		*1 \ {0}	1	, a x — 0
1 7. f(x) = \	^11-	COS X		"TT,
}	[ 2a -	1	X — 0
!H. /(,;) = |	(x —	TT 2 )^f&^x-	X £	[o,	4\{f}
	a		X =	7T 2