3784494693

oraz, ze

(2) równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy P2 =P3 = ••• =Pn = 1-

Dla n = 2 nierówność (1) przybiera postać

(3)    P1P2 + — + — >    +P1+P2-

P1 P2 PlP2

Jest ona równoważna nierówności

PlP2-PlP2-PlP2 +PlP2>PlP2 ~Pi ~P2 + 1,

czyli p\P2{pi — 1)(P2 — 1) ^ (pi —1)(??2 — 1), co przy założeniu p\ > P2 ^ 1 jest spełnione. Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy P2 — 1 = 0.

Załóżmy teraz prawdziwość nierówności (1) oraz stwierdzenia (2) dla pewnej liczby n > 2. Niech ponadto dane będą liczby p\ > P2 > ... > p_n > Pn+i ^ 1. Wówczas P1P2 ^P3 ^ ••• ^Pn+i ^ 1, skąd na mocy założenia indukcyjnego

, _x    11    11

PlP2)P3-PnPn+l +-+ — +    +->

PlP2 P3    Pn Pn+1

(4)    -7--\-piP2+P3 + ---+Pn+Pn+l

(PlP2)P3-PnPn+l

oraz równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy p% = ... =p_n =p_n+i = 1. Dodanie nierówności (3) i (4) stronami daje

111 11

PlP2P3■ • -PnPn+l H---1---1---K..H--+->

P\ P2 P3    Pn Pn+1

1

>--\-pi+P2+P3 + ---+Pn+Pn+1-

PlP2P3-PnPn+l

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy P2—P3 — ---~Pn —Pn+i = 1-Ze stwierdzenia (2) wynika zatem, że wielomiany spełniające warunki zadania mają postać P(x) = a(x + l)^n_1 (# + &), gdzie a jest dowolną niezerową liczbą rzeczywistą, zaś b > 1.

Zadanie 8. Dana jest liczba naturalna n>2 oraz zbiór n-elementowy S. Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną k, dla której istnieją podzbiory Ai,A2,-..,Ak zbioru S o następującej własności: dla dowolnych dwóch różnych elementów a,b G S istnieje taka liczba j G {1,2,.że zbiór Aj(~){a,b} jest jednoelementowy.

Rozwiązanie

Wykażemy, że k = [log₂(n — 1) +1], tzn. 2^k~^l < n < 2^k.

Mając liczbę k określoną jak wyżej, konstruujemy zbiory Aj następująco: numerujemy elementy zbioru S liczbami /e-cyfrowymi w układzie dwójkowym (dopuszczamy zera początkowe). Mamy więc do dyspozycji 2^k > n liczb. Następnie za Ai bierzemy zbiór tych elementów zbioru 5, których numer ma

40