0231

232

III. Pochodne i różniczki

jemy, że zachodzi przybliżona równość

(9)    f(x)xH(x).

Węzły jcj nazywają się węzłami interpolacyjnymi o krotności odpowiednio n, +1.

Można udowodnić istnienie i jednoznaczność wielomianu H(x) stopnia nie przewyższającego N— 1 i spełniającego wszystkie postawione warunki. Nazywa się on wielomianem interpolacyjnym Her mi te’a, a wzór (9) — wzorem interpolacyjnym Hermite’a.

Jeśli przyjmiemy, że wszystkie n_; są równe zeru, to otrzymamy wzór Lagrange’a (2). Spotkaliśmy się też i z innym szczególnym przypadkiem wzoru Hermite’a: weźmy tylko jeden węzeł x₀ krotności n+1, tzn. zażądajmy, by wielomian T{x) stopnia nie wyższego niż n przybierał w punkcie x₀ tę samą wartość co i funkcja /(x) i żeby n jego pochodnych przybierało w tym punkcie takie same wartości, jak odpowiednie pochodne funkcji /(x). Wiemy, że warunki te spełnia wielomian Taylora [124 (16)]:

, ,, ,,/'(*o),    , ,    ./‘"W,

T(x) =/(x₀) + —7- (x - x₀) +... +-— (x - x₀)".

1!    n!

Tak więc wzór przybliżony

/(x)~T(x)

(porównaj ustęp 127) także jest przypadkiem szczególnym wzoru interpolacyjnego Her-mite’a.

Reszta we wzorze (9), przywracająca mu dokładność, może być wyprowadzona z pomocą rozumowania analogicznego do tego, które przeprowadziliśmy w poprzednim ustępie. Rozpatrzymy wielomian stopnia N:

£2(_z)=(z-x₀r⁺ⁱ(z-x₁r⁺ⁱ...(z-x_mr⁺ⁱ

i przyjmiemy dla «<z<6:

&(z)=f(z)—H(z) — KQ (z), gdzie    K = const.

Jeśli założymy, że funkcja /(z) ma w przedziale <a, bj N kolejnych pochodnych, to będzie to słuszne również dla (z). Ustalmy wartość z=x różną od węzłów i wybierzmy K tak, by

(10)

K =

/(x)-H(x) £2(x)

(fi(x)*0).

Przy takim wyborze funkcja tf>(r) jest równa zeru również dla z=x. Będzie ona miała N+1 pierwiastków, jeśli każdy pierwiastek liczyć tyle razy, jaka jest jego krotność (^!). Stosując kolejno, tak jak wyżej, twierdzenie Rolle’a (z tą tylko komplikacją, że każdy pierwiastek krotny funkcji <P(z) będzie figurował w ciągu kilku kroków również jako pierwiastek jej

(’) Uogólniamy pojęcie krotności pierwiastka znane czytelnikowi dla wielomianu na dowolną funkcję 0(z): liczba a nazywa się jej pierwiastkiem o krotności p, jeśli w punkcie a funkcja <P{z) jest równa zeru wraz z jej p — 1 pochodnymi.