0187

188

III. Pochodne i różniczki

Przypuśćmy teraz, że *=sinl (—■jTtdc^rc). Wtedy y=\! 1 — sin² I=cos t i otrzymujemy: dx=co& t dt, dy= — sin t-dt. Łatwo sprawdzić, że wzór

, —sini-dr    sini

cos I• dt    cos I

jest tylko innym wyrażeniem dla obliczonej wyżej pochodnej.

Z okoliczności tej wygodnie jest korzystać zwłaszcza w tych wypadkach, gdy zależność y od x nie jest podana bezpośrednio, ale zamiast tego dana jest zależność obu zmiennych x i y od pewnej trzeciej zmiennej pomocniczej I, zwanej parametrem,

(8)    x=ę(t), y = y/(t).

Zakładając, że obie te funkcje mają pochodne i że pierwsza z tych funkcji ma funkcję odwrotną t=d(x), która ma pochodną [83, 94], łatwo możemy dostrzec, że wtedy i y jest funkcją x:

(9)    y=vW) =/M, która też ma pochodną. Obliczenie tej pochodnej może być przeprowadzone według wskazanej wyżej reguły:

(10)

, ₌ dy ₌ tidt ₌y± ₌ ^'(P

dx x’_t dt x'_t ę' (I) ’ bez odtworzenia bezpośredniej zależności y od x.

Jeśli na przykład jc=sin I, y=cos t (~in<t<in), to pochodną y'_x można obliczyć, jak to zrobiono wyżej, nie korzystając zupełnie z zależności y=Vl-x².

Jeśli rozpatrywać x i y jako współrzędne prostokątne punktu na płaszczyźnie, to równania (8) przyporządkowują każdej wartości parametru I pewien punkt, który wraz ze zmianą t zakreśla krzywą na płaszczyźnie. Równania (8) nazywają się równaniami parametrycznymi tej krzywej.

W przypadku parametrycznego przedstawienia krzywej, wzór (10) pozwala bezpośrednio na podstawie równań (8) wyznaczyć współczynnik kątowy stycznej, nie przechodząc do przedstawienia krzywej równaniem (9); mianowicie

(11)    tga=—

Uwaga. Możliwość wyrażenia pochodnej przez różniczki obliczone względem dowolnej zmiennej prowadzi w szczególności do tego, że wzory

dy    1 dy    dy    du

dx    dx ’ dx    du    dx

dy

wyrażające w oznaczeniach leibnizowskich reguły różniczkowania funkcji odwrotnej